Теоретичні відомості Абсолютна та відносна похибки
Мірою точності наближеного числа є похибка. Розрізняють абсолютну та відносну похибку наближеного числа.
Нехай
x
– це наближене подання числа x0.
Тоді величина ∆=|x
–
x0|
називається абсолютною
похибкою
подання числа x0
за допомогою числа x.
На практиці використовують максимально
можливе значення ∆ – число ∆x,
що задовольняє нерівність
.
∆х називають максимальною, або граничною абсолютною похибкою. При цьому, має виконуватися умова, що ∆x << |x| (знак << означає “значно менше”).
Проте, абсолютна похибка не демонструє якості обчислення або вимірювання – важливе значення абсолютної похибки, що припадає на одиницю вимірювання.
Величину
називають відносною
похибкою
подання числа x0
числом x.
Так само як і у випадку з абсолютною
похибкою, вводять поняття максимальної,
або граничної
відносної
похибки
δx,
що задовольняє нерівність 
.
На
практиці використовують формулу:
.
Очевидно,
що
<< 1.
Відносну похибку зазвичай вимірюють у відсотках. Крім того, відносну похибку завжди округлюють із надлишком.
Треба зауважити, що наведені оцінки похибок наближених чисел справедливі лише, якщо запис цих чисел містить всі значущі цифри.
Значущою цифрою наближеного числа називають всяку цифру в його десятковому поданні починаючи з першої зліва ненульової цифри.
Проте, точність наближеного числа залежить не від кількості значущих цифр, а від кількості вірних значущих цифр.
Кажуть, що наближене значення x, що записане у вигляді десяткового дробу, має n вірних десяткових знаків у вузькому розумінні, якщо абсолютна похибка цього числа не перевершує половини одиниці n-го розряду в запису числа x.
У деяких випадках зручно говорити, що число x є наближенням точного числа x0 з n вірними десятковими знаками в широкому розумінні, розуміючи під цим, що абсолютна похибка ∆x не перевищує одиниці десяткового розряду, що виражається n-ою значущою цифрою наближеного числа.
Похибки округлення
У тих випадках, коли наближене число містить зайву кількість невірних значущих цифр, удаються до округлення.
При округленні використовують наступне правило округлення. Якщо в старшому з розрядів, що відкидаються, стоїть цифра менша п'яти, то вміст розрядів, що зберігаються, не міняється. У противному випадку, в молодший розряд, що зберігається, додається одиниця.
Очевидно, що абсолютна похибка округлення не перевершує половини одиниці молодшого розряду, що залишається.
При округленні наближеного числа його абсолютна похибка збільшується з урахуванням похибки округлення.
Зразок виконання завдання
Завдання:
1)
Визначити,
яка рівність точніша:
чи
.
2)
Округлити сумнівні цифри, залишивши
вірні знаки: а) числа 72.353
0.026
у вузькому розумінні; б) числа 2.3544;
δ=0.2% у широкому розумінні;
3) Знайти граничні абсолютні та відносні похибки чисел: а) 0.4357; б) 12.384, якщо вони мають лише вірні цифри: а) у вузькому розумінні; б) у широкому розумінні.
Розв’язання:
1)
Знаходимо значення даних виразів із
більшою кількістю десяткових знаків,
ніж наявні наближення:
,
.
Обчислюємо граничні абсолютні похибки,
округляючи їх із надлишком:
;
.
Граничні відносні похибки становитимуть:
;
.
Оскільки
,
то рівність
є
більш точною.
2) а) Нехай 72.353 0.026 = х. За умовою ∆x = 0.026<0,05. Це означає, що у числі 72.353 вірними у вузькому розумінні є три цифри 7, 2, 3.
За
правилом округлення знайдемо наближене
значення числа: x*
= 72.4.
.
,
отже, потрібно зменшити кількість цифр
у наближеному числі до двох: x**=72.
.
Оскільки
,
то обидві цифри, що залишилися, вірні
у вузькому розумінні.
б) Нехай х=2.3544; =0.2%.
Абсолютна
похибка
.
.
Це означає, що у числі 2.3544 вірними у
широкому розумінні є три цифри, тому
округлюємо його, залишаючи ці три цифри:
х*=2.35.
.
Оскільки
,
то в округленому числі 2.35 всі три цифри
вірні у широкому розумінні.
3) а) Оскільки всі чотири цифри числа х=0.4357 вірні у вузькому розумінні, то абсолютна похибка ∆x = 0.00005, а відносна похибка
=0.00011476
0.00012
(0.012%).
б) Оскільки всі п’ять цифр числа х=12.384 вірні у широкому розумінні, то абсолютна похибка ∆x = 0.001, а відносна похибка
=0.0000807
0.0001
(0.01%).