Теоретичні відомості Кінцеві різниці

Нехай функція задана таблицею з постійним кроком.

...	...

Різниці між значеннями функції у сусідніх вузлах інтерполяції називають кінцевими різницями І порядку.

,

,

....................

.

З кінцевих різниць І порядку отримують різниці ІІ порядку:

,

,

..........................

.

Аналогічно отримують різниці k-го порядку:

, .

Продовжуючи цей процес, можна за даною таблицею функції скласти таблицю кінцевих різниць.

Кінцеві різниці можуть бути представлені безпосередньо через значення функції:

,

,

.......................................................................

, .

Перша інтерполяційна формула Ньютона

Будемо шукати інтерполяційний багаточлен у вигляді:

Це багаточлен n-го степеню. Значення коефіцієнтів знайдемо з умови співпадання значень вихідної функції та багаточлена у вузлах інтерполяції:

, .

Покладаючи , знаходимо .

Для :

. Звідки .

Для

.

Звідки

.

Аналогічно знаходимо .

Загальна формула має вигляд:

,

Підставляючи ці вирази у формулу для , отримаємо наступний вид інтерполяційного багаточлена Ньютона:

.

Проте, на практиці цю формулу використовують дещо в іншому вигляді. Для цього вводять змінну . Тоді

,

,

.............................

.

З урахуванням цих співвідношень, формулу Ньютона можна переписати у вигляді:

Отриманий вираз може апроксимувати задану функцію на усьому відрізку зміни значення аргумента . Проте цю формулу вигідно використовувати для інтерполяції функції в околі початкового значення , де , тобто для . Для інших значень аргумента, наприклад для , замість краще брати значення . Таким чином, інтерполяційний багаточлен Ньютона можна записати у вигляді

,

Отриманий вираз називають першим інтерполяційним багаточленом Ньютона для інтерполяції вперед.

Цю формулу зазвичай використовують для обчислення значень функції в точках лівої половини відрізка інтерполяції.

Окремі випадки

Лінійна інтерполяція За (інтерполюємо за двома точками)

.

Квадратична інтерполяція За (інтерполюємо за трьома точками)

.

Друга інтерполяційна формула Ньютона

Для правої половини відрізка інтерполяції, застосовують іншу формулу. В цьому випадку покладають , тобто Інтерполяційний багаточлен Ньютона можна записати у вигляді

.

Отриману формулу називають другим інтерполяційним багаточленом Ньютона для інтерполяції назад.

Як перша, так і друга формули Ньютона можуть бути використані для екстраполяції функції, тобто для знаходження значення функції для значення аргумента , що лежать поза межами таблиці. Якщо , то вигідно застосовувати першу інтерполяційну формулу Ньютона. Тоді . Якщо , то зручніше користуватись другою інтерполяційною формулою Ньютона. В цьому випадку .