Контрольні питання

1. Сформулюйте задачу інтерполяції функції.

2. Яке наближення називають екстраполяцією?

3. Введіть поняття кінцевих різниць.

4. Який багаточлен називають інтерполяційним багаточленом Ньютона для рівновіддалених вузлів інтерполяції?

5. Наведіть перший інтерполяційний багаточлен Ньютона для інтерполяції вперед.

6. Наведіть другий інтерполяційний багаточлен Ньютона для інтерполяції назад.

7. Наведіть інтерполяційний багаточлен Ньютона для випадку лінійної інтерполяції.

8. Наведіть інтерполяційний багаточлен Ньютона для випадку квадратичної інтерполяції.

Практична робота №5

Тема: Числове диференціювання

Завдання: за допомогою інтерполяційних формул Ньютона знайти значення першої та другої похідних за даних значень аргумента для функції , що задана таблицею.

Таблиця 1

	2.4	2.6	2.8	3.0	3.2	3.4
	3.526	3.782	3.945	4.043	4.104	4.155
	3.6	3.8	4.0	4.2	4.4	4.6
	4.222	4.331	4.507	4.775	5.159	5.683

Для n=1, 3, 5, 7, …, 29: =2.4+0.05n, =3.12+0.03n,

=4.04-0.04n, =4.5-0.06n, де n – номер варіанта.

Таблиця 2

	1.5	2.0	2.5	3.0	3.5	4.0
	10.517	10.193	9.807	9.387	8.977	8.637
	4.5	5.0	5.5	6.0	6.5	7.0
	8.442	8.482	8.862	9.701	11.132	13.302

Для n=2, 4, 6, 8, …, 30: =1.6+0.08n, =3.27+0.11n,

=6.3-0.12n, =5.85-0.09n, де n – номер варіанта.

Теоретичні відомості

Один із способів розв’язання задачі диференціювання – це використання інтерполяційних багаточленів.

Для виведення формул наближеного диференціювання дану функцію на відрізку замінюють інтерполяційною функцією та покладають, що

за .

Аналогічно поступають для знаходження значення похідних функції вищих порядків.

Розглянемо числове диференціювання на основі інтерполяційної формули Ньютона, тобто покладемо, що функція задана у вигляді таблиці з постійним кроком .

Запишемо для функції перший інтерполяційний багаточлен Ньютона:

.

Перепишемо, розкриваючи дужки:

Враховуючи правило диференціювання складної функції

матимемо:

. (1)

Аналогічно, враховуючи, що

,

отримуємо:

. (2).

В такий самий спосіб за необхідністю можна обрахувати похідні функції будь-якого порядку.

Проте кожного разу, обчислюючи значення похідної у фіксованій точці за формулами (1) та (2), в якості слід обирати найближче зліва вузлове значення аргумента.

Формули (1) та (2) значно спрощуються, якщо шуканим значенням виявляється один з вузлів таблиці. Оскільки в цьому випадку кожне табличне значення можна вважати за початкове, то, покладаючи , отримуємо . Тоді формули матимуть вигляд:

,

.

Аналогічно виводяться формули для числового диференціювання на основі другої інтерполяційної формули Ньютона.

Запишемо для функції другий інтерполяційний багаточлен Ньютона:

Перепишемо цей поліном, розкриваючи дужки:

Враховуючи правило диференціювання складної функції матимемо:

. (3)

. (4)

У вузлових точках формули (3) та (4) матимуть вигляд:

,

.