Теоретичні відомості
Нехай
відомі значення функції
в
різних точках:
.
(
):
Наприклад, ці значення знайдені
експериментально або отримані у
результаті розрахунків. Виникає задача
наближено відбудувати функцію
у довільній точці
.
Для
розв’язання цієї задачі будується
алгебраїчний багаточлен
степеня
,
який в точках
приймає ті ж значення
,
що й функція
,
тобто:
,
Такий
багаточлен називають інтерполяційним.
Точки
називають вузлами
інтерполяції
Будемо
шукати інтерполяційний багаточлен у
вигляді лінійної комбінації багаточленів
степеня
(1)
При
цьому вимагатимемо, щоб кожен багаточлен
обертався в нуль в усіх вузлах
інтерполяції, за винятком одного і-го
вузла, де він повинен дорівнювати
одиниці. Легко перевірити, що цим умовам
задовольняє багаточлен виду
(2)
Підставляючи вираз (2) у вираз (1), отримуємо
(3)
Інтерполяційний
багаточлен, представлений
у вигляді (3), називають
інтерполяційним
багаточленом Лагранжа,
а функції
,
представлені у вигляді
,
–
лагранжевими
коефіцієнтами.
Окремі випадки:
Лінійна
інтерполяція
За
(інтерполюємо за двома точками)
Квадратична
інтерполяція
За
(інтерполюємо за трьома точками)
Зразок виконання завдання Завдання: наближено відбудувати функцію , що задана таблицею
|
321.0 |
322.8 |
324.2 |
325.0 |
|
2.50651 |
2.50893 |
2.51081 |
2.51188 |
у точці =323.5 за допомогою інтерполяційного багаточлена Лагранжа.
Розв’язання:
Інтерполяційний багаточлен Лагранжа для заданої функції матиме вигляд
+
+
+
+
.
Тоді
=
0.07996+1.18794+1.83897
0.43708
= 2.50987
Відповідь: 2.50987
Приклад програми
#include <conio.h>
#include <iostream.h>
double XX[] = {0.43, 0.48, 0.55, 0.62, 0.70, 0.75};
double YY[] = {1.63597, 1.73234, 1.87688, 2.03345, 2.22846, 2.35973};
double g, l, r;
int i, j;
void main ()
{
cout<<"Тable of values of a function:"<<endl;
cout<<"X: ";
for(i=0; i<5; i++)
cout<<XX[i]<<" | ";
cout<<endl;
cout<<"Y: ";
for(i=0; i<5; i++)
cout<<YY[i]<<" | ";
cout<<endl;
cout<<endl;
cout<<"Еnter value X: ";
cin>>r;
l=0;
for(i=0; i<5; i++)
{
g=1;
for(j=0; j<5; j++)
{
if(i != j)
g = g*((r-XX[j])/(XX[i]-XX[j]));
}
l=l+YY[i]*g;
}
cout<<"Y = "<< l;
getch();
}
Контрольні питання
Сформулюйте задачу інтерполяції функції.
Що таке глобальна інтерполяція?
Що таке локальна інтерполяція?
Яке наближення називають екстраполяцією?
Який багаточлен називають інтерполяційним багаточленом Лагранжа?
Наведіть інтерполяційний багаточлен Лагранжа для випадку лінійної інтерполяції.
Наведіть інтерполяційний багаточлен Лагранжа для випадку квадратичної інтерполяції.
Практична робота №4
Тема: Інтерполяція з рівновіддаленими вузлами. Інтерполяційний багаточлен Ньютона
Завдання: наближено відбудувати функцію , що задана таблицею, у довільній точці за допомогою інтерполяційних багаточленів Ньютона.
Таблиця 1
|
|
№ варіанта |
Значення аргумента |
1.415 1.420 1.425 1.430 1.435 1.440 1.445 1.450 1.455 1.460 1.465 |
0.888551 0.889599 0.890637 0.891667 0.892687 0.893698 0.894700 0.895693 0.896667 0.897653 0.898619 |
1 11 21
|
1.4161 1.4655 1.4657 1.4105 1.4254 1.4605
|
Таблиця 2
|
|
№ варіанта |
Значення аргумента |
0.101 0.106 0.111 0.116 0.121 0.126 0.131 0.136 0.141 0.146 0.151 |
1.26183 1.27644 1.29122 1.30617 1.32130 1.33660 1.35207 1.36773 1.38357 1.39959 1.41579 |
2 12 22
|
0.1115 0.1423 0.1035 0.1512 0.1074 0.1464
|
Таблиця 3
|
|
№ варіанта |
Значення аргумента |
0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 |
0.860708 0.818731 0.778801 0.740818 0.704688 0.670320 0.637628 0.606531 0.576950 0.548812 0.522046 |
3 13 23
|
0.151 0.605 0.203 0.652 0.252 0.653
|
Таблиця 4
|
|
№ варіанта |
Значення аргумента |
0.180 0.185 0.190 0.195 0.200 0.205 0.210 0.215 0.220 0.225 0.230 |
5.51543 5.46693 5.32634 5.19304 5.06649 4.94619 4.83170 4.72261 4.61855 4.51919 4.42422 |
4 14 24 |
0.1817 0.2305 0.1857 0.2222 0.1873 0.2255
|
Таблиця 5
|
|
№ варіанта |
Значення аргумента |
3.50 3.55 3.60 3.65 3.70 3.75 3.80 3.85 3.90 3.95 4.00 |
33.1154 34.8133 36.5982 38.4747 40.4473 42.5211 44.7012 46.9931 49.4024 51.9354 54.5982 |
5 15 25 |
3.522 3.955 3.643 4.055 3.575 4.204 |
Таблиця 6
|
|
№ варіанта |
Значення аргумента |
0.115 0.120 0.125 0.130 0.135 0.140 0.145 0.150 0.155 0.160 0.165 |
8.65729 8.29329 7.95829 7.64893 7.36235 7.09613 6.84915 6.61859 6.39986 6.19658 6.00551 |
6 16 26 |
0.1217 0.1655 0.1168 0.1568 0.1175 0.1605 |
Таблиця 7
|
|
№ варіанта |
Значення аргумента |
1.340 1.345 1.350 1.355 1.360 1.365 1.370 1.375 1.380 1.385 1.390 |
4.25562 4.35325 4.45522 4.56184 4.67344 4.79038 4.91306 5.04192 5.17744 5.32016 5.47069 |
7 17 27 |
1.3617 1.3945 1.3463 1.3868 1.3432 1.3932
|
Таблиця 8
|
|
№ варіанта |
Значення аргумента |
0.01 0.06 0.11 0.16 0.21 0.26 0.31 0.36 0.41 0.46 0.51 |
0.9918 0.9519 0.9136 0.8769 0.8416 0.8077 0.7753 0.7441 0.7141 0.6854 0.6579 |
8 18 28 |
0.027 0.515 0.124 0.492 0.083 0.424 |
Таблиця 9
|
|
№ варіанта |
Значення аргумента |
0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 |
4.4817 4.9530 5.4739 6.0496 6.6859 7.3891 8.1662 9.0250 9.9742 11.0232 12.1825 |
9 19 29 |
0.153 0.255 0.173 0.242 0.164 0.234 |
Таблиця 10
|
|
№ варіанта |
Значення аргумента |
0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.50 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 |
20.1946 19.6133 18.9425 18.1746 17.3010 16.3123 15.1984 13.9484 12.5508 10.9937 9.2647 |
10 20 30 |
0.455 0.545 0.473 0.550 0.467 0.541 |