58. Мы знаем, что всякий ток в проводнике создает магнитное поле. Но это поле, начав изменяться, в свою очередь влияет на вызвавший его ток. Это явление называется самоиндукцией.
Е
сли
в пространстве нет ферромагнетиков, то
магнитный поток через виток с током
пропорционален протекающему в нем току
.
носит
название коэффициента самоиндукции
провода. Он зависит только размеров и
конфигурации проводника. Тогда закон
электромагнитной индукции будет
следующим
.
Для длинного соленоида вычисляется и равно
,
где
— плотность витков на единицу длины, а
— объем пространства внутри соленоида.
В
системе СИ единицей измерения коэффициента
самоиндукции является Гн (генри,
).
Если рядом расположенных проводников с токами много, то кроме коэффициентов самоиндукции вводятся коэффициенты взаимной индукции, которые описывают часть ЭДС индукции, возникающей под воздействием другого тока
.
Коэффициенты взаимной индукции также измеряются в Гн.
59. Вычисление энергии проводника приводит к формуле
.
В случае длинного соленоида эта формула преобразуется к
.
Отсюда
легко получить плотность энергии
магнитного поля (
)
.
Эта формула годится при любой конфигурации магнитного поля.
60. Начнем с теоремы о циркуляции магнитного поля:
.
означает
алгебраическую сумму всех токов,
пронизывающих поверхность, ограниченную
контуром
.
Это уравнение может быть переписано в
дифференциальном виде:
|
(1) |
,где
— вектор плотности тока. Как мы сейчас
увидим, это уравнение не полно. Вспомним,
что закон сохранения электрического
заряда в дифференциальной форме выглядит
так:
.
Теперь применим оператор дивергенции к уравнению (1). Так как всегда дивергенция, примененная к ротору, дает нуль, то получается:
.
Такой
вариант закона сохранения заряда
получается только в случае, когда
плотность заряда
не зависит от времени, т.е. задача
стационарна. Но уравнения электромагнитного
поля должны выполняться и для переменных
полей. Следовательно, к правой части
уравнения (1) надо добавить член, чтобы
дивергенция от правой части всегда
обращалась в нуль.
Такой член можно получить, воспользовавшись теоремой Гаусса для вектора смещения электрического поля:
.
Эта
формула получена из известной вам
теоремы Гаусса умножением на
(
в вакууме), заменой вектора напряженности
электрического поля на вектор смещения
и обозначением алгебраической суммы
всех зарядов внутри объема, ограниченного
замкнутой поверхностью
,
через
.
В дифференциальном виде это уравнение
выглядит так:
.
Дифференцируя это соотношение по времени, получаем:
.
Точка над вектором смещения означает производную по времени.
Пользуясь теперь уравнением закона сохранения заряда, получаем:
,
то
есть производная по времени от вектора
смещения должна быть добавлена в теорему
циркуляции магнитного поля. Максвелл
назвал этот член плотностью тока смещения
,
а сумму обычного тока и тока смещения
полным током. Конечно ток смещения
никакой не ток, но ведет себя подобно
ему в нестационарных задачах.
Окончательно
|
(2) |
.У
равнение
(2) является одним из уравнением Максвелла.
Вопрос: а действительно ли существует такой ток смещения. Ответ: результат Максвелла давно подтвержден на эксперименте. На рисунке справа представлен один из таких экспериментов. На нем нарисован конденсатор, присоединенный к цепи переменного тока. В случае переменного тока в промежутке между обкладками электрическое поле становится переменным и там же возникает магнитное поле, которого в электростатике не наблюдается.
То есть Максвелл (теоретик) открыл, что изменение электрического поля создает магнитное поле. Аналогично закону электромагнитной индукции.
61. Получив ток смещения, Максвелл написал полную систему уравнений электродинамики. Хочу отметить, что современную форму этим уравнениям придал выдающийся самоучка Хевисайд, никогда не учившийся в университете, но в конце концов принятый в Британское Королевское общество.
Система выглядит так:
|
(2.1) |
уравнение электромагнитной индукции. |
(2.2) |
теорема Гаусса для электрического поля. |
(2.3) |
теорема Гаусса для магнитного поля. |
(2.4) |
.
В дифференциальной форме:
|
(2.1а) |
уравнение электромагнитной индукции. |
(2.2а) |
теорема Гаусса для электрического поля. |
(2.3а) |
теорема Гаусса для магнитного поля. |
(2.4а) |
.
Кроме этого, в систему входит уравнение закона сохранения заряда
|
|
И уравнения связи:
, 
, 
.
62. Когда поля стационарны, то уравнения Максвелла разделяются на две системы. Первая система содержит только электрические величины и описывает электростатику
,
.
Вторая система содержит только магнитные величины и описывает магнитостатику
,
.
Поля в первой системе задаются только электрическими зарядами, во второй — токами проводимости.
63. Другое следствие получится, если исключить из уравнений заряды и токи. То есть рассматриваются только электрические и магнитные поля вдали от их источников. В этом случае решение полной системы уравнений приводит к электромагнитной волне. Уравнения плоской волны выглядят следующим образом:
в
случае распространения волны в одном
направлении — вдоль оси
.
В случае трех координат эти уравнения
преобразуются к следующему виду:
Здесь
— оператор Лапласа. Скорость
электромагнитной волны, как следует из
уравнений, равна
.
Здесь
— скорость волны в вакууме, которая совпадает со скоростью света, ранее полученной из астрономических данных. Поэтому было естественно предположить, что свет — электромагнитная волна. Эксперименты подтвердили это предположение.
Электродинамика получила множество практических применений. Телеграф, телефон, радио, телевидение. Кроме этого, все электрические машины, турбины на электростанциях, лампы накаливания и так далее связаны с электричеством и магнетизмом. И все это было изобретено примерно за 1,5 века.
Физики для своих исследований создали мощные установки, называющиеся ускорителями элементарных частиц. Их работа также основана на электродинамике, то есть на уравнениях Максвелла.
