56. После предварительного рассмотрения сформулируем закон в общем виде. Как и в случае электрического поля можно ввести поток индукции магнитного поля:
.
Здесь
— площадь контура, через который проходит
магнитное поле,
— нормаль к площадке, ограниченной
контуром. Скалярное произведение
может быть заменено на
,
где
— угол между направлениями вектора
индукции и нормалью. Если магнитная
индукция меняется по величине и
направлению, то формула для потока
переходит в следующую
.
И напоминаю теорему Гаусса для магнитного потока:
.
Необходимо
отметить, что поверхность, на которой
вычисляется поток индукции, можно
деформировать. Для доказательства
рассмотрим рисунок справа. На нем
представлен разрез контура (точки
и
)
и разрез двух поверхностей
(кривые
и
).
Крест в точке
и точка — в
показывают направление обхода контура,
которое связано правым винтом с
направлением нормалей на поверхности.
Так как поток вектора индукции через
замкнутую поверхность равен нулю, то
потоки по отдельным поверхностям
и
равны между собой (с учетом направления
векторов нормали). Отсюда следует, что
поверхность
можно деформировать как угодно.
57.
Рассмотрим
сначала частный случай. Пусть параллельные
проводники
и
(см. рис.) помещены в однородное постоянное
магнитное поле, перпендикулярное к
плоскости рисунка и направленное к нам.
Слева находится источник тока, не
показанный на рисунке. По проводам может
свободно перемещаться проводящий мостик
,
замыкающий ток
,
текущий по проводам левее мостика. Если
— длина мостика, то на него магнитное
поле действует с силой
.
При перемещении мостика на
эта сила совершает работу
,
где
— площадь прямоугольника
.
Величина
есть магнитный поток через тот же
прямоугольник. Обозначив его через
,
получим для элементарной работы
,
а для конечной работы
.
Таким образом, работа, совершаемая магнитным полем над током, равна приращению магнитного потока, умноженного на ток. При выводе предполагалось, что ток при перемещении мостика поддерживается постоянным.
Результат
справедлив и при произвольном направлении
магнитного поля. Чтобы убедится в этом,
разложим вектор
на три составляющие:
.
Составляющая вдоль мостика
параллельна току в нем и не оказывает
на мостик силового воздействия.
Составляющая
вдоль перемещения дает силу,
перпендикулярную к перемещению и работы
не производит. Работа производится лишь
составляющей
,
перпендикулярной к плоскости рисунка,
в которой перемещается мостик
.
Докажем теперь, что полученные формулы справедливы для любого витка с током при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле. Виток может не только перемещаться, но и произвольно деформироваться. Для доказательства достаточно мысленно разбить виток на бесконечно малые элементы тока и рассмотреть бесконечно малые перемещения их. При бесконечно малом перемещении элемента тока магнитное поле, в котором он перемещается, может считаться однородным. Суммируя перемещения всех малых элементов, получаем выражение для элементарной работы. Интегрируя затем, получаем вновь выражение для конечной работы. Необходимо подчеркнуть, что ток в витке должен поддерживаться постоянным.
Если в магнитном поле перемещается катушка с намотанным на нее многократно проводом, то в работе по ее перемещению необходимо учесть перемещение каждого витка. И тогда в окончательном выражении работы будет вместо магнитного потока стоять сумма магнитных потоков через все витки
.
Величина
носит название потокосцепления. Если
все потоки одинаковы, то
,
где
— число витков катушки, а работа по
перемещению катушки суть
.