Вершины, ребра, грани многогранника. Выпуклый многогранник
Формула Эйлера
N − L + F = 2
N — число вершин, L — число ребер, F — число граней выпуклого многогранника
Призма — многранник, две грани которого — равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а остальные — параллелограммы.
Параллелепипед — призма, основание которой — параллелограмм.
Параллелепипед имеет шесть граней и все они — параллелограммы.
Пирамида — многранник, у которого одна грань n-угольник — основание пирамиды, а остальные боковые грани — треугольники с общей вершиной — вершиной пирамиды.
Если в пирамиде провести сечение параллельное основанию, то тело, ограниченное этим сечением, основанием, и заключенной между ними боковой поверхностью пирамиды, называется усеченной пирамидой.
Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма
Призма— многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Или— это многогранник, в основаниях которого лежат равные многоугольники, а боковые грани — параллелограммы.
Свойства призмы:
Основания призмы являются равными многоугольниками.
Боковые грани призмы являются параллелограммами.
Боковые ребра призмы параллельны и равны.
Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:
Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.
Площадь боковой
поверхности произвольной призмы
, где P — периметр
перпендикулярного сечения, L—
длина бокового ребра.
Площадь боковой
поверхности правильной призмы
, где P — периметр основания
призмы, , h— высота призмы.
Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы.
Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.
Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.
Прямой призмой называется призма, у которой боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, другие призмы называются наклонными.
Правильной призмой называется прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.
Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.
Параллелепипед. Куб. Симметрии в кубе, в параллелепипеде
Параллелепи́пед (— призма, основанием которой служит параллелограмм, или многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм.
Различается несколько типов параллелепипедов:
Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники;
Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники;
Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основанию.
Куб — это прямоугольный параллелепипед с равными измерениями. Все шесть граней куба — равные квадраты
Прямой параллелепипед
Площадь боковой поверхности Sб=Ро*h, где Ро — периметр основания, h — высота
Площадь полной поверхности Sп=Sб+2Sо, где Sо — площадь основания
Объём V=Sо*h
Прямоугольный параллелепипед
Площадь боковой поверхности Sб=2c(a+b), где a, b — стороны основания, c — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда
Площадь полной поверхности Sп=2(ab+bc+ac)
Объём V=abc, где a, b, c — измерения прямоугольного параллелепипеда.
Свойства
Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерении.
Куб или правильный гексаэдр — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Частный случай параллелепипеда и призмы.
Куб
Площадь боковой поверхности Sб=4a², где а — ребро куба
Площадь полной поверхности Sп=6a²
Объём V=a³
они симметричные относительно центра