7. Решение оптимизационных задач

7. 1. Задача об оптимальном производстве красок

Рассмотрим следующую задачу планирования производства. Небольшая фабрика выпускает 2 типа красок: для внутренних нужд (I) и наружных работ (Е). Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства используются два исходных продукта – А и В. Максимально возможные запасы этих продуктов составляют 6 т и 8 т соответственно. Расходы А и В на 1 т соответствующих красок приведены в табл. 7.1.

Таблица 7.1

Исходные данные задачи о производстве красок

Исходный продукт	Расход исходных продуктов (в тоннах) на тонну краски		Максимально возможный запас, т
	краска Е	краска I
А	1	2	6
В	2	1	8

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки.

Оптовые цены одной тонны красок равны: 3000 руб. для краски Е и 2000 руб. для краски I.

Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Для решения этой задачи необходимо сначала построить математическую модель. Процесс построения модели можно начать с ответа на следующие вопросы:

• Для определения каких величин строится модель? Другими словами, что является переменными модели?

• В чем состоит цель, для достижения которой из множества всех допустимых значений переменных выбираются оптимальные?

• Каким ограничениям должны удовлетворять неизвестные?

В нашем случае фабрике необходимо спланировать объем производства красок так, чтобы максимизировать прибыль. Поэтому переменными являются

• х_I суточный объем производства краски I;

• x_E суточный объем производства краски E.

Суммарная суточная прибыль от производства х_I краски I и х_Е краски Е равна:

z = 3000 х_I + 2000 x_E

Целью фабрики является определение среди всех допустимых значений х_I и x_E таких, которые максимизируют суммарную прибыль, т. е. целевую функцию z.

Перейдем к ограничениям, которые налагаются на x_I и x_E. Объем производства красок не может быть отрицательным. Следовательно,

х_Е, x_I 0.

Расход исходного продукта для производства обоих видов красок не превосходить максимально возможный запас данного исходного продукта. Таким образом,

x_E + 2x_I 6,

2х_Е + x_I 8.

Кроме того, ограничения на величину спроса на краски имеют вид:

x_I – x_E 1,

x_I 2.

Таким образом, математическая модель данной задачи имеет следующий вид:

Максимизировать:

z = 3000х_Е + 2000х_I,

при ограничениях:

x_E + 2x_I 6,

2х_Е + x_I 8.

x_I – x_E 1,

x_I 2,

х_Е, x_I 0

Заметим, что данная модель является линейной, т. к. целевая функция и ограничения линейно зависят от переменных.

Перейдем к вводу исходных данных на рабочем листе для решения задачи о красках. Для этого:

1. Отведите ячейки A3 и В3 под значения переменных х_Е и x_I соответственно (рис. 7.1).

2. Введите в ячейку С4 функцию цели

=3000*АЗ+2000*ВЗ

3. Введите в ячейки диапазона А7:А10 левые части ограничений, а в ячейки диапазона В7:В10 соответствующие правые части ограничений:

Ячейка	Формула	Ячейка	Значение
А7	=АЗ+2*ВЗ	В7	6
А8	=2*АЗ+В3	В8	8
А9	=ВЗ-А3	В9	1
А10	=ВЗ	В10	2

Рис. 7.1. Диапазоны, отведенные под переменные, целевую функцию и ограничения в задаче о производстве красок

Решим задачу при помощи средства Поиск решения. Оно является одной из надстроек Excel. Если в меню Сервис отсутствует команда Поиск решения, для ее установки необходимо выбрать команду Сервис – Надстройки. На экране отобразится диалоговое окно Надстройки. В списке Список надстроек выберите Поиск решения и нажмите кнопку ОК.

Переходим к нахождению оптимального производства красок.

1. Выберите команду Сервис – Поиск решения. На экране отобразится диа­логовое окно Поиск решения (рис. 7.2).

Рис. 7.2. Поиск решения после заполнения полей для задачи производства красок

2. Нажмите кнопку Параметры. На экране отобразится диалоговое окно Параметры поиска решения. В диалоговом окне Параметры по­иска решения можно изменять условия и варианты поиска решения ис­следуемой задачи, а также загружать и сохранять оптимизируемые моде­ли. Значения и состояния элементов управления, используемые по умол­чанию, подходят для решения большинства задач. В нашем конкретном случае установите флажок Линейная модель, а ос­тальные значения, которые используются по умолчанию, можно оставить так, как они и есть. Нажмите кнопку ОК. На экране опять отобразится окно Поиск решения.

3. Нажмите кнопку Выполнить. На экране отобразится окно Результаты по­иска решения (рис. 7.3).

4. После нажатия кнопки ОК, результаты будут внесены в рабочий лист.

Рис. 7.3. Оптимальное решение задачи о производстве красок