18. Внутренняя энергия идеального газа. Закон равномерного распределения по степеням свободы.

В теории идеального газа потенциальная энергия взаимодействия молекул считается равной нулю. Поэтому внутренняя энергия идеального газа определяется кинетической энергией движения всех его молекул. Средняя энергия движения одной молекулы равна

Так как в одном киломоле содержится   молекул, то внутренняя энергия одного киломоля газа будет

Учитывая, что   , получим

Для любой массы m газа, т.е. для любого числа киломолей   внутренняя энергия

(10.12)

Из этого выражения следует, что внутренняя энергия является однозначной функцией состояния и, следовательно, при совершении системой любого процесса, в результате которого система возвращается в исходное состояние, полное изменение внутренней энергии равно нулю. Математически это записывается в виде тождества

Молекулы можно рассматривать как системы материальных точек (атомов) совершающих как поступательное, так и вращательное движения. При исследовании движения тела необходимо знать его положение относительно выбранной системы координат. Для этого вводится понятие о степенях свободы тела. Число независимых координат, которые полностью определяют положение тела в пространстве, называется числом степеней свободы тела.

При движении точки по прямой линии для оценки ее положения необходимо знать одну координату, т.е. точка имеет одну степень свободы. Если точка движения по плоскости, ее положение характеризуется двумя координатами; при этом точка обладает двумя степенями свободы. Положение точки в пространстве определяется 3 координатами. Число степеней свободы обычно обозначают буквой i. Молекулы, которые состоят из обычного атома, считаются материальными точками и имеют три степени свободы (аргон, гелий).

Двухатомные жесткие молекулы, например молекулы водорода, азота и др., обладают пятью степенями свободы: они имеют 3 степени свободы поступательного движения и 2 степени свободы вращения вокруг осей ОХ и OZ. Вращением вокруг оси OY можно пренебречь, т.к. момент инерции ее относительно этой оси пренебрежимо мал. Поэтому вклад энергии вращательного движения вокруг оси OY в суммарную энергию двухатомной молекулы можно не учитывать.

Молекулы, состоящие из трех и более жестко связанных атомов, не лежащих на одной прямой, имеют число степеней свободы i = 6: три степени свободы поступательного движения и 3 степени свободы вращения вокруг осей ОХ, OY и OZ.

В этом случае, если расстояние между атомами может изменяться (нежесткие молекулы), появляются дополнительные степени свободы .

Согласно молекулярно-кинетической теории газов движение молекул носит беспорядочный характер; эта беспорядочность относится ко всем видам движения молекулы. Ни один из видов движения не имеет преимущества перед другим. При статистическом равновесии движений энергия в среднем распределяется равномерно между всеми видами движения. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы молекул можно сформулировать следующим образом: статистически в среднем на каждую степень свободы молекул приходится одинаковая энергия. Поступательное движение молекул характеризуется средней кинетической энергией, равной   . Так как поступательному движению соответствует 3 степени свободы, то в среднем на одну степень свободы движения молекул приходится энергия

В однородном газе, молекулы которого имеют любое число степеней свободы i, каждая молекула в среднем обладает энергией движения, равной

19. Первый закон термодинамики. Работа газа при изменении его объема.

    Внутренняя энергия может изменяться только под влиянием внешних воздействий, то есть в результате сообщения системе количества теплоты Q и совершения над ней работы (- А):

или

.            (11)

Это выражение представляет собой закон сохранения энергии в применении к макроскопическим системам и является математической формулировкой I-го начала термодинамики:

количество тепла, сообщенное системе, идет на приращение внутренней энергии системы и на совершение системой работы над внешними телами.

Если в изолированной системе (Q = A = 0) не происходит никаких превращений энергии, кроме теплообмена между телами, входящими в эту систему, то количество теплоты, отданное охлаждающимися при этом телами, равно количеству теплоты, полученному телами, которые нагреваются. Суммарная внутренняя энергия системы при этом не меняется.

.             (12)

Уравнение (12) называется уравнением теплового баланса.

Применим первое начало термодинамики для получения выражений для теплоемкости идеального газа.

Теплоемкость системы численно равна количеству теплоты, которое необходимо сообщить системе, чтобы ее температура увеличилась на 1 Кельвин.  

Если система получила количество тепла Q, и ее температура изменилась на T, то теплоемкость этой системы будет равна:

C = Q/T.             (13)

Если под системой понимается 1 моль вещества, то теплоемкость называется молярной и обозначаетсяС, если под системой понимается единица массы вещества, то теплоемкость называется удельной и обозначается c_уд:

c_уд = C/M.               (14)

Элементарное количество теплоты Q, сообщаемое системе, представляющей собой   молей идеального газа, для изменения ее температуры от Т до Т + T, равно:

.      (15)

Внутреннюю энергию можно изменить двумя способами: путем передачи теплоты и путем совершения работы. При теплопередаче молекулы более нагретого тела передают часть своей энергии хаотического движения молекулам более холодного тела. Переданное количество теплоты является мерой изменения внутренней энергии каждого из тел: U = Q. 

Принято считать, что Q > 0, если тело получает энергию, и Q < 0, если тело отдает свою энергию. При совершении механической работы должно происходить направленное перемещение тел под действием сил, например, перемещение поршня в цилиндре с газом. Если газ расширяется, то сила давления газа на поршень совершает положительную работу (A > 0) за счет внутренней энергии газа. Если внешние силы больше силы давления газа, то газ сжимается и работа газа будет отрицательной (A < 0), при этом внутренняя энергия увеличивается. 

В обоих случаях будет справедливо уравнение U = – A. Если система одновременно совершает работу и получает или отдает теплоту, то изменение ее внутренней энергии U = Q – A.

Уравнение U = Q – A называется первым законом термодинамики (или первым законом термодинамики). 

Изменение внутренней энергии термодинамической системы Uравно разности полученного количества теплоты Q и работы A, совершенной системой. 

Первый закон термодинамики является законом сохранения энергии для тепловых процессов. Согласно ему A = Q – U. Этот закон говорит о том, что любая машина (любой двигатель) может совершать работу только за счет получения извне некоторого количества теплоты или уменьшения своей внутренней энергии. Многие изобретатели пытались построить машины, которые совершали бы работу, не тратя никакой энергии. Эти машины назывались вечными двигателями первого рода. 

Вечный двигатель первого рода не возможен – таков вывод из первого закона термодинамики.

Работа газа при изменении его объема

Будем искать выражение в общем виде для внешней работы, которую совершает газ при изменении его объема. Рассмотрим, например, газ, который находится под поршнем в цилиндрическом сосуде (рис. 1). Если газ, расширяясь, передвигает поршень на бесконечно малое расстояние dl, то он осуществляет над ним работу    где S — площадь поршня, Sdl=dV— изменение объема газа. Таким образом,   (1)  Полную работу А, которую совершает газ при изменении его объема от V1 до V2, найдем интегрированием формулы (1):   (2)  Результат интегрирования зависит от вида зависимости между давлением и объемом газа. Найденное для работы выражение (2) справедливо при любых изменениях объема твердых, жидких и газообразных тел.  Осуществленную в том или ином процессе работу можно изобразить графически с помощью кривой в координатах р, V. Пусть, например, изменение давления газа при его расширении изображается кривой на рис. 2. При увеличении объема на dV совершаемая газом работа равна pdV, т. е. определяется площадью полоски с основанием dV, которая заштрихована на рисунке. Значит полная работа, которая совершается газом при расширении от объема V1 до объема V2, определяется площадью, ограниченной осью абсцисс, кривой p=f(V) и прямыми V1 и V2.  Графически можно представлять только равновесные процессы — процессы, которые состоят из последовательности равновесных состояний. Они протекают таким образом, что изменение термодинамических параметров за конечный промежуток времени бесконечно мало. Все реальные процессы не являются равновесными (они протекают с конечной скоростью), но в ряде случаев неравновесностью реальных процессов можно пренебречь (чем медленнее протекает процесс, тем он ближе к равновесному). В классической термодинамике рассматриваемые процессы предполагаются равновесными.

20. Теплоемкости идеального газа. Закон Майера.

Теплоемкость идеального газа — это отношение количества теплоты, сообщенного газу, к изменению температуры δТ, которое при этом произошло.

Молярная теплоемкость

Молярная теплоемкость — теплоемкость 1 моля идеального газа.

[править]Теплоемкость идеального газа в изопроцессах

[править]Адиабатический

В адиабатическом процессе теплообмена с окружающей средой не происходит, то есть  . Однако, объём, давление и температура меняются, то есть  .

Следовательно, теплоемкость идеального газа в адиабатическом процессе равна нулю:  .

[править]Изотермический

В изотермическом процессе постоянна температура, то есть  . При изменении объема газу передается (или отбирается) некоторое количество тепла. Следовательно, теплоемкость идеального газа стремится к бесконечности: 

[править]Изохорный

В изохорном процессе постоянен объем, то есть  . Элементарная работа газа равна произведению изменения объема на давление, при котором происходит изменение ( ). Первое Начало Термодинамики для изохорного процесса имеет вид:

А для идеального газа

Таким образом,

где   — число степеней свободы частиц газа.

[править]Изобарный

В изобарном процессе ( ):

C_P=δQ/νΔT=C_V+R=((i+2)/2)*R

[править]Вывод формулы для теплоемкости в данном процессе

Согласно 1 началу термодинамики существует 2 способа изменить внутреннюю энергию тела (в нашем случае идеального газа): передать ему тепло или совершить над ним работу.

dU=δQ+δA, где δA — работа окр. среды над газом.

δA_{окр.среды}=-δA_газа

δQ=dU+δA_газа

В расчете на 1 моль:

С=δQ/ΔT=(ΔU+pΔV)/ΔT

ΔU=C_V*ΔT

C=C_V+(pΔV/ΔT)_{в данном процессе}

МАЙЕРА УРАВНЕНИЕ - ур-ние, устанавливающее связь между теплоёмкостями при пост, давлении Cp и пост, объёме С_V 1 кмоляидеального газа:  где R - газовая постоянная .Впервые было получено Ю. P. Майером (J. R. Mayer) в 1842 и ещё до работ Дж. П. Джоуля (J. P. Joule) использовано им для количеств, определения механического эквивалента теплоты. Для произвольной массы т(кг) вещества в состоянии идеального газа M. у. записывается в виде:   , где  - молекулярная масса газа. M. у. можно получить из общего соотношения   (см. Термодинамика ),если учесть, что для идеального газа справедливо Клапейрона уравнение.