9. Сложение одинаково направленных колебаний

10. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

В случае, когда частоты колебаний   и   близкие по величине, возникает явление, которое называют биением (см. Рис. 11.5). В этом случае  , и результирующее движение можно рассматривать как периодическое колебание с пульсирующей амплитудой. Частота таких колебаний равняется среднему арифметическому значению частот складываемых колебаний.

С ложение взаимно перпендикулярных колебаний

Тело может также принимать участие в колебательных движениях, направления колебаний которых не совпадают. Рассмотрим случай, когда тело одновременно принимает участие в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебательных движениях, частоты которых одинаковы. Относительно координатных осей    и  , которые размещены в направлениях колебательных движений, уравнения колебаний будут иметь вид:

 и  .  (11.67)

Найдем уравнение траектории результирующего движения. Для этого предыдущее уравнение перепишем так:

 (11.68)

 и 

 (11.69)

Умножим первое уравнение на  , а второе - на   и найдем их разность; потом умножим первое уравнение на  , а второе на    и также найдем разность. Получим:

 (11.70)

 и

. (11.71)

 Последние два уравнения возведем в квадрат и почленно сложим их. В результате имеем:

. (11.72)

Это соотношение является уравнением траектории результирующего движения тела, которое одновременно принимает участие в двух колебаниях, направления которых взаимно перпендикулярны. В общем случае - это уравнение эллипса. Ориентация эллипса относительно осей координат и его форма определяются амплитудами   и   и разностью фаз   складываемых колебаний.

Масса тела - физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса) и гравитационные (гравитационная масса) свойства. Силой называется векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры. Импульсом тела называется величина, численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость: .  Потенциальная энергия

11. Затухающие колебания. Логарифмический декремент затухания

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. В простейшем, и вместе с тем наиболее часто встречающемся, случае сила сопротивления пропорциональна величине скорости:

,

где r – постоянная величина, называемая коэффициентом сопротивления. Знак минус обусловлен тем, что сила и скорость имеют противоположные направления; следовательно, их проекции на ось X имеют разные знаки. Уравнение второго закона Ньютона при наличии сил сопротивления имеет вид:

.

Применив обозначения  ,  , перепишем уравнение движения следующим образом:

.

Это уравнение описывает затухающие колебания системы. Коэффициент   называется коэффициентом затухания.

Экспериментальный график затухающих колебаний при малом коэффициенте затухания   представлен на рис. 7.6. Из рис. 7.6 видно, что график зависимости   выглядит как косинус, умноженный на некоторую функцию, которая убывает со временем. Эта функция представлена на рисунке штриховыми линиями. Простой функцией, которая ведет себя подобным образом, является экспоненциальная функция  . Поэтому решение можно записать в виде:

,

где   – частота затухающих колебаний.

Величина x периодически проходит через нуль и бесконечное число раз достигает максимума и минимума. Промежуток времени между двумя последовательными прохождениями   через нуль равен  . Удвоенное его значение  называется периодом колебаний.

Множитель  , стоящий перед периодической функцией  , называется амплитудой затухающих колебаний. Она экспоненциально убывает со временем. Скорость затухания определяется величиной  . Время, по истечении которого амплитуда колебаний уменьшается в   раз, называется временем затухания  . За это время система совершает   колебаний. Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания. Логарифмическим декрементом затухания называется логарифм отношения амплитуд в моменты последовательных прохождений колеблющейся величины через максимум или минимум:

.

Он связан с числом колебаний   соотношением:

.

Величина   называется добротностью колебательной системы. Добротность тем выше, чем большее число колебаний успевает совершить система прежде, чем амплитуда уменьшится в   раз.

Постоянные величины   и  , как и в случае гармонических колебаний, можно определить из начальных условий.