Особенности изучения величин в начальном курсе математики

1. История развития системы мер

На первых порах единицы измерения брались человеком из окружающей природы.Например,

Часто единицами измерения брались части человеческого тела: локоть, аршин, фут, дюйм и др. Однако части тела у разных людей разли-чные. Разнообразие мер создавало большую путаницу при измерениях, затрудняло обмен и торговлю, расчёты при разных единицах изме-рения. Поэтому была придумана МЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МЕР – совокупность единиц физических вели-чин, в основу которой поло-жены две единицы длины—метр и массы -- килограмм . Все остальные единицы измерения вытекали из этих двух. Эта система была раз-работана в конце ХУ11 в. в эпоху Великой фра-нцузской революции. За единицу измерения длины был взят метр -- одна соракамиллион-ная часть меридиана, проходящего близ Пари-жа. За единицу измерения массы был взят ки-лограмм-масса дистиллированной воды при 4⁰ С.

Отличительной особенностью новой систе-мы являлся принцип десятичных преобразо-зований кратных и дольных единиц. Были введены десятичные кратные единицы едини-цы, образуемые с помощью латинских слов- приставок: мириа (10⁴), кило(10³), гекто (10²), дека (10¹) и дольные, образуемые с помощью приставок: деци(10^-1), cанти (10^-2), милли (10^-3 )

микро(10^-4 ), нано(10^-9), пико (10 ^-12), фем-

то(10^-15) , татто(10^-15). Остальные единицы из-мерения получались с помощью приставок и из двух исходных единиц метр и килограмм. В России эта система была принята в в 1899 г.под рук. Д.И. Менделеева. В 1960 г. в СССР была принята международная система из 7 единиц (СИ):м, кг, сек, ампер, моль, кельвин, кандела.

ДЛИНА ОТРЕЗКА – положительная величина, определённая для каждого отрезка и облада-ющего следующими свойствами:

1)равные отрезки имеют равные длины;

2) если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков;

3)существует отрезок, длина которого равна 1.

Свойства длин отрезков:

1.При выбранной единице длины длина любого отрезка выражается положительным дейст-вительным числом, и для каждого положи-тельного действительного числа есть отрезок, длина которого выражается этим числом.

2.Если два отрезка равны, то численные значе-ния их длин также равны, и обратно: если численные значения длин двух отрезков равны, то равны и сами отрезки.

3.Свойства аддитивности меры.Если данный отрезок есть сумма нескольких отрезков, то численное значение его длины равно сумме чи-сленных значений длин слагаемых, и обратно: если численное значение длины отрезка равно сумме численных значений нескольких отрезков, то и сам отрезок равен сумме этих отрезков.

4. Если длины отрезков а и в таковы, что

в = х*а , где х – положительное действи-тельное число и длина измерена мпри помощи единицы е, то, чтобы найти численное зна-чение длины в при единице в, достаточно число х умножить на численное значение длины а при единице е.

5.Свойство мультипликативности. При замене единицы численности значение длины увеличи-вается (уменьшается)во столько раз, во сколько раз единица меньше (больше) старой.

На практике для измерения длин предметов используются различные инстру-менты: линейка, рулетка и др.

При решении практических задач при-меняются стандартные единицы длины: километр, метр, дециметр, сантиметр,

миллиметр

ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ-- положительная вели-чина, определённая для каждой фигуры и обладающего следующими свойствами:

1)равные фигуры имеют равные площади;

2) если фигура составлена из конечного числа фигур , то площадь равносоставленных из них новой фигуры равна сумме площадей этих фи-гур;

3)существует фигура,площадь которой равна 1.

Свойства площадей фигур:

1.При выбранной единице площади площадь любогй фигуры выражается положительным действительным числом, и для каждого поло-жительного действительного числа есть фигу-ра, площадь которой выражается этим числом.

2.Если две ифигуры равны, то численные значе-ния их площадей также равны, и обратно: если численные значения площадей двух фигур равны, то равны и сами фигуры.

3.Свойства аддитивности меры.Если данная фигура состоит из нескольких фигур, то чис-ленное значение равносоставленной из них фигуры , то её площадь равна сумме численных значений площадей равносоставленной фигуры , и обратно: если численное значение площади равно сумме численных значений нескольких фигур, то и сама фигура равносоставлена из этих фигур.

4. Если площади отрезков а и в таковы, что

в = х*а , где х – положительное действи-тельное число и длина измерена при помощи единицы е, то, чтобы найти численное зна-чение фигуры при единице е, достаточно число х умножить на численное значение площади апри единице е.

5.Свойство мультипликативности. При замене единицы численности значение площади увели-чивается (уменьшается)во столько раз, во сколько раз единица меньше (больше) старой.

На практике для измерения площадей фигур используются инструмент: палетка – прозрачная плёнка, разлинованная на квадраты в 1 дм² , 1 см², 1 мм² и т.д.

При решении практических задач при-меняются стандартные единицы длины: квадратный километр, гектар,ар, квадратный метр, квадратный дециметр, квадратный сантиметр, квадратный миллиметр

ВРЕМЯ выражает порядок смены явлений. В повседневной жизни время понимается как длительность ("через 13 ча­сов", "три года" и т.п. - в этих случаях речь идет о промежутках времени) и как дата ("20 марта 2 012 года", "в 13 часов" и т.п. - в этих случаях речь идет о хронологических числах).

Время как дата не является аддитивно-скалярной величиной, так как. не выполняет­ся свойство аддитивности, потому что даты складывать нельзя.

Время как длительность является адди-тивно-скалярной величиной. Промежут­ки времени можно сравнивать, складывать, вы-читать, умножать на положительное действи-тельное число, делить, т.е. промежутки време-ни обладают свойствами, похожими на свой-ства длины, площади, массы и др.

Измерение времени значительно сложнее измерения других известных величии За единицу времени не может быть взят произвольный промежуток, а только такой, который связан с периодически повторяющи-емся процессом. Именно поэтому существую-щее измерение время основано на учете вра-щения Земли вокруг Солнца. Однако Земля вращается вокруг своей оси неравиомсрно, поэтому сутки (время, за которое Земля делает полный оборот вокруг своей оси) как единица времени не обладают достаточной точностью. В системе СИ за единицу времени принята секунда, определение которой не зависит от вращения Земли.

Система счета длительных промежутков времени называется календарем. Известные календари можно разделить на три группы: солнечные, лунные и лунно-солнечные. В осно-ве солнечных календарей лежит продолжи-тельность солнечного года, в основе лунных - продолжительность лунного месяца.

Современный (григорианский) календарь является солнечным. По этому календарю к вместо к каждому году прибавлять 6 ч, при-бавляют целые сутки к каждому четвёртому году. Этот год состоит из 366 дней и называ-ется високосным, а годы из 365 дней называют ся простыми. Григорианский календарь был введен в 1582 г. римским папой Григорием ХШ. Существующий юлианский календарь, просуществовавший более 16 столетий. Он введен в 46 г. до н.э. римским импе­ратором Юлием Цезарем. Согласно ему новый год на-чинается с 1 января и со­стоит из 12 месяцев. Сохранилась в нем и такая мера времени, как неделя, при­думанная еще вавилонскими аст-ронамами. По юлианскому календарю високос­ными являются все годы, номер кото-рых делится на 4, по григорианскому - иск-лючаются годы, номер, которых делится на 400. Так, в григорианс­ком календаре 1600 и 2000 гг. - високосные, а 1700, 1800 и 1900 из числа висо­косных годов исключены (они содержат по 365 суток). Не будут високосны-ми 2100, 2200,2300 гг. Юлианский год длиннее солнечного на 11 минут, григорианский - всего на 26 секунд. В настоящее время суще-ствует несколько проектов реформы григо-рианского календаря. Предлагаемые измене-ния в основном касаются лишь распреде-ления дней по месяцам. Год делится на 12 не-равных частей, называемых месяцами. Ме-сяц не впол­не определенная единица време-ни: он может состоять из тридцати одного, трид­цати и двадцати восьми (двадцати девя-ти в високосные годы) дней. Однако су­щест-вует она с древних времен лунный кпдендарь и связан он с движением Луны вокруг Земли. Один оборот вокруг Земли Луна делает при-мерно за 29,5 суток, и за год она соверша­ет примерно 12 оборотов.

Названия месяцев по порядку следующие: январь (31 день), февраль (28 или 29 дней), март (31 день), апрель (30 дней), май (31 день), июнь (30 дней), июль (31 день), август (31 день), сентябрь (30 дней), октябрь (31 день), ноябрь (30 иней), декабрь (31 день).

Примером лунного календаря служит магометанский календарь. Год по это­му ка-лендарю равен 12 лунным месяцам и короче солнечного на 11 дней. В настоящее время он используется в Египте, в странах ближнего Востока и др.

Примером лунно-солнечного календаря служит еврейский календарь. Год по этому календарю состоит из 12 месяцев (354 дней) или из 13 месяцев (384 дней).

У времени нет начала и нет конца. Оно течет и течет. Поэтому, чтобы вести его счет, люди сами устанавливают начало отсчета. Установить начало суток можно разными способами. Так, древние египтяне вели лето-исчисление по годам правления фараонов, китайцы - по годам царствования и династи-ям императоров, римляне - от основания го-рода Рима, другие народы - от "сотворения мира" или от "рожднгия Христа". На Руси до XV в. год начинался 1 марта, а с XV в. до 1700 г. - с 1сентября, с 1700 г. - с 1 января.

Деление суток на 24 часа введено в Древнем Египте. Минута и секунда появились в Древнем Вавилоне, использовавшего шести-десятеричную систему счисления.