Зависимости между величинами.

Различные свойства объек­тов и явле-ний окружающего нас мира часто связа-ны между собой. Эти связи разнообразны и проявляются они в определенных зависимостях между соответ­ствующими величинами. Изучением зависимостей между величинами занима­ются различ-ные науки, которые, применяя математи-ческие методы, выражают их в виде фор-мул. Так, из физики мы знаем, как давле-ние газа зависит от его температуры, энергия тела от его массы. Мы же остано-вимся в основном на зависимостях, встре-чающихся в начальном курсе математи-ки.

Зависимость между временем (t), скоростью (V) и расстоянием (S), пройден­ным телом при равномерном прямоли-нейном движении, выражается форму-лой:S=V*t.

Считая в формуле t=к= сопst, запишем ее в виде S=k*t . Следовательно, зави-симость расстояния от скорости является прямо пропорциональной. Ее ос­новное свойство: во сколько раз увеличивается (уменьшается) скорость движе­ния, во столько же раз увеличивается (уменьша-ется) пройденное расстояние.

В этом случае прямо пропорциональ-ной зависимостью будет и зависимость скорости от расстояния, т.к. если

V=к^-1 =сопst, то запишем её в виде t= k^{-1 *} s.

Её основное свойство: : во сколько раз увеличивается (уменьшается) пройденное расстояние, во столько же раз увеличи-вается (уменьшается) время движения.

Запишем фомулу в виде t=k/v.

Ее основное свойство: во сколько раз увеличивается (уменьшается) скорость движения, во столько же раз уменьшается (увеличивается) время движения. Зависимость обратно пропорциональная.

Считая в формуле V = к= соnst, запишем ее в виде t=k/v. Следователь­но, зависимость времени от скорости явля-ется обратно пропорциональной. Ее основное свойство: во сколько раз увеличивается (уменьшается) скорость движе­ния, во столько же раз уменьшается (увеличивается) время движения.

Зависимость между стоимостью това-ра (s), его количеством (n) и це­ной (С), выражается формулой: S = С*п.

Зависимость между объемом работы (А), временем работы (t) и производи-тельностью труда (Р), выражается форму-лой: А = Р* t.

В каждом конкретном случае, полагая, что одна из величин постоянна, мож­но установить, какой зависимостью связаны между собой остальные величины.

Аналогичные зависимости сущест-вуют и между другими величинами, рассматриваемыми в начальных классах. Например, такими, как:

а) расход ткани на одно изделие, количество изделий и количество ткани;

б) масса одного ящика, количество ящиков и общая масса всех ящиков;

в) высота, длина прямоугольника и его площадь.

Пример 1. Установите, какой зависимостью связаны площадь квадрата и его периметр.

Решение. Пусть а - сторона квадрата. Тогда площадь квадрата а², периметр квадрата Р = 4*а. Следовательно, S=p²/4 Значит, площадь квадрата и его периметр связаны квадратичной зависимостью.

Знание зависимости между вели-чинами позволяет находить различные спо­собы решения текстовых задач.

Пример 2. Решим задачу: Первый рабочий изготовляет за 1 час 12 деталей, вто­рой - 9 деталей. До обеденного пере-рыва первый рабочий изготовил 48 деталей. Сколь­ко деталей изготовил до перерыва второй рабочий, если рабочие начали трудиться одно­временно?.

В задаче речь идет о выполнении работы. Этот процесс характеризуется тремя ве­личинами: производительностью (Р), временем (t) и количеством изгото-вленных деталей (п); объемом выпол-ненной работы (А). Согласно условию задачи значения времени работы оди­наковы, а производительность и объем выполненной работы принимают различ-ные значе­ния. Следовательно, величины А и Р связаны прямо пропорциональной зависимостью.

Задача может быть решена двумя арифметическими способами.

1-й способ. Найдем коэффициент пря-мой пропорциональности t- времени выпол­нения работы. Зная его и произво-дительность второго рабочего, нетрудно будет найти и количество деталей, кото-рые он изготовил до перерыва Чтобы найти время работы, раз­делим количес-тво деталей, изготовленных первым рабочим, на его производительность:

48 дет.:12дет./ч=4(ч). Умножив произ-водительность второго рабочего на время его рабо­ты до перерыва, получим искомое количество деталей: 9 дет./ч • 4 ч = 36 дет.

2-oй способ. Воспользуемся свойством прямой пропорциональности. Найдем, во сколько раз производительность второго рабочего меньше производительности первого: 12 дет./ч : 9дет./ч = 4/3 раза. Значит, и количество деталей, изготов-ленных вторым рабо­чим, в 4/3 раза меньше количества дета-лей, изготовлен-ных первым: 48 дет. : 4/3 = =36 дет. Ответ: 36 деталей.

В каждом конкретном случае, полагая, что одна из величин постоянна, мож­но установить, какой зависимостью связаны между собой остальные величины.

Аналогичные зависимости сущест-вуют и между другими величинами, рассматриваемыми в начальных классах. Например, такими, как:

а) расход ткани на одно изделие, количество изделий и количество ткани;

б) масса одного ящика, количество ящиков и общая масса всех ящиков;

в) высота, длина прямоугольника и его площадь.

ИМЕНОВАННОЕ ЧИСЛО - численное значение величины, взятое вмес­те с указа-нием наименования единицы измерения. Так, 7 м, 15 кг - именованные числа. Именованное число выражает тот размер, который в отдельном частном случае име-ет величина данного рода, и с этой точки зрения именованного числа. всегда надо рассматривать как некоторую величину того или другого рода. Так, 7 метров - это некоторая длина, 15 килограммов – неко-торая масса. В таком понимании именованное число ему прида­ется более общее значение. Длину, записанную в виде 7 м 25 см 7 мм, цену, записанную в виде 2 р 38 коп, и т.п. так же называют именованным числом, хотя в действи-тельности в каждом из этих случаев имеются несколько чисел и не­сколько различных единиц измерения.

Именованное число дает всегда вполне определенное и ясное представление о раз-мере той или другой величины.

Два именованных числа называются равными, если они выражают одно и то же значение величины.

Так, 6 кг 827 г равны 6 827 г, т.к. оба числа выражают одну и ту же массу.

Именованное число называется простым, если оно состоит из единиц только одного наименования, например, 7 м.

Именованное число называется состав-ным, если оно состоит из единиц различ-ных наименований, например, 7 м 25 см.

Составные именованные числа полу-чаются в результате измерения в тех случаях, когда взятая единица измерения не содержится целое число раз в изме­ряемой величине и поэтому получив-шийся остаток приходится измерять мень­шей единицей измерения.