Вопрос 8.2. Формула прямоугольников.

Формула прямоугольников основана на замене криволинейной трапеции на прямоугольник, высота которого равна значению функции в середине отрезка интегрирования (для функции ) (см. рис. 8.2).

Рис. 8.2. Формула прямоугольников.

Ее можно представить в виде

.

Здесь второе слагаемое ‑ остаточный член формулы прямоугольников приведенный без вывода, первое слагаемое - площадь прямоугольника (для ). Точность формулы прямоугольников такая же, как у формулы трапеций. Для повышения точности применяют усложненную формулу прямоугольников, которая приводится без вывода:

.

где

.

Вопрос 8.3. Формула Симпсона.

Формулы трапеций и прямоугольников имеют недостаточную точность. Значительно более высокую точность имеет формула Симпсона, которая соответствует замене криволинейной трапеции на криволинейную, ограниченной сверху параболой. Эта парабола проходит через три точки , и (см. рис. 3). Тогда можно заменить функцию квадратным трехчленом и получить формулу Симпсона

.

Рис. 3. Формула Симпсона.

Усложненная формула Симпсона с постоянным шагом h имеет вид

На практике для оценки остаточного члена используется правило Рунге:

Если ‑ интеграл, вычисленный по приближенным формулам с шагом h, а ‑ интеграл, вычисленный с шагом , то

,

где для формул прямоугольников и трапеций, для формулы Симпсона.

Пример 8.1. Вычислить интеграл от на отрезке по простой формуле Cимпсона

.

(точное значение 1.7183)

Конец примера.

Лекция № 9. Определенный интеграл.

Вопрос 9.1. Вычисление площадей плоских фигур.

Теорема 9.1. Пусть плоская фигура ограничена прямыми и графиками двух интегрируемых функций . Тогда справедлива формула

.

Рис. 1. Вычисление площади плоской фигуры.

Доказательство. Пусть обе функции и неотрицательные. Тогда (смотри рис. 1) площадь плоской фигуры есть разность площадей двух криволинейных трапеций

.

Если обе функции принимают отрицательные значения, то вновь площадь плоской фигуры есть разность площадей двух криволинейных трапеций

.

Пусть теперь одна или обе функции могут менять знаки. Тогда перейдем в новую систему декартовых координат, в которой ось X опущена параллельно самой себе на расстояние Y так, что графики обеих функций проходят выше оси X. Тогда в новой системе координат получаем

и

.

Конец доказательства.

Пример 9.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами .

Площадь этой фигуры равна

кв.ед.

Конец примера.

Вопрос 9.2. Вычисление площади криволинейного сектора.

Введем полярные координаты

Пусть дан криволинейный сектор, ограниченный кривой , в котором полярный угол меняется в пределах . Разобьем этот отрезок на n отрезков точками

и на каждом промежуточном отрезке выберем точку . Составим интегральную сумму:

.

Каждый i-й интегральной суммы равен площади кругового сектора с углом раскрытия и радиусом (см. рис. 2). Предел этой интегральной суммы называют площадью криволинейного сектора

.

Пример 9.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой .

.

Конец примера.

Рис. 2. Вычисление площади криволинейного сектора.