Вопрос 7.2. Основная формула интегрального исчисления (формула Ньютона - Лейбница).

Теорема 7.2. Если непрерывна на отрезке , то , где любая первообразная функции .

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

.

Вычислим производную от функции

.

Так как по свойству аддитивности

,

то

,

где была использована теорема о среднем значении

.

Таким образом, есть первообразная для функции . Так как в точке а , то

,

но если является другой первообразной для функции , то и

и

.

Конец доказательства.

Замечание 7.1. Из доказательства теоремы следует, что если непрерывна, то она имеет первообразную

.

Конец замечания.

Формула Ньютона-Лейбница сводит вычисление определенного интеграла к вычислению неопределенного интеграла.

Пример 7.1.

.

Конец примера.

Вопрос 7.3. Замена переменных в определенном интеграле.

Теорема 7.3. Пусть непрерывная на отрезке функция, и есть множество значений некоторой функции , непрерывно дифференцируемой на отрезке , причем и , тогда справедлива формула замены переменной

.

Доказательство. Пусть первообразная для функции . Тогда есть первообразная для функции

.

По формуле Ньютона ‑ Лейбница

,

.

Отсюда следует, что левые части формул равны между собой.

Конец доказательства.

Пример 7.2.

.

Конец примера.

Вопрос 7.4. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема 7.4. Пусть на отрезке заданы две дифференцируемые функции и с непрерывными производными. Тогда справедлива формула интегрирования по частям

или

.

Доказательство. Проинтегрируем левую и правую часть формулы дифференцирования произведения двух функций

получим, после переноса, доказываемую теорему

.

Конец доказательства.

Метод интегрирования по частям используется для интегрирования тех же классов функций, что и в случае неопределенных интегралов.

Пример 7.3.

.

Конец примера.

Вопрос 7.5. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

Теорема 7.5. Если имеет непрерывную ‑ю производную на отрезке , то справедлива формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме

Доказательство. По формуле Ньютона – Лейбница, интегрируя по частям n раз, получим

Конец доказательства.

Лекция № 8. Определенный интеграл

Вопрос 8.1. Формула трапеций.

Теорема 8.1. (Обобщенная теорема о среднем значении). Пусть функция непрерывна на отрезке , а функция интегрируема и неотрицательна ( ) на этом отрезке. Тогда справедлива формула

,

где c принадлежит отрезку .

Доказательство. Так как непрерывна на , то она достигает своего минимального и минимального значения на этом отрезке. Пусть m ‑ минимальное, а M ‑ максимальное значения функции на отрезке . Тогда . Интегрируя это неравенство, умноженное на функцию , получим

или

.

Интеграл существует, так как произведение интегрируемых функций является интегрируемой функцией. В силу непрерывности функции всегда найдется точка c, в которой достигается указанное промежуточное значение между m и M. Следовательно

.

Конец доказательства.

Теорема 8.2. (Формула трапеций). Если имеет непрерывную вторую производную на отрезке , то справедлива формула

,

где ‑ остаточный член формулы трапеций, равный

.

Пояснение. Так как (см. рис. 1)

Рис. 1. Формула трапеций.

есть площадь трапеции, высотой и основаниями и , то смысл формулы состоит в том, что значение интеграла, равное площади криволинейной трапеции, равно площади обычной трапеции (для неотрицательных функций).

Доказательство. Используем формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме

.

Обозначим через функцию , и разложим ее в ряд Тейлора

.

Аналогично разложим функцию

.

Но . Пусть , тогда

Откуда

.

Подынтегральная функция

,

тогда по обобщенной теореме о среднем значении получим

.

Интегрируя, получим

.

Определение 8.1. Длины отрезков разбиения называются шагами интегрирования, а их концы называются узлами интегрирования. Формулы интегрирования называются составными или усложненными.

Рассмотрим усложненную формулу трапеций с постоянным шагом интегрирования h и узлами

.

Тогда

где

Пусть m ‑ минимальное, а M ‑ максимальное значение на отрезке . Тогда . Складывая эти неравенства с , получим

или

.

В силу непрерывности пробегает все промежуточные значения от m до M, поэтому существует точка c, такая что

.

Так как , то

.

Отсюда получим усложненную формулу трапеций

,

.