Лекция № 25. Дифференциальные уравнения.
Вопрос 25.1. Метод Рунге-Кутта.
Пусть
есть точное решение задачи Коши. Если
имеет непрерывные производные вплоть
до n-го
порядка включительно, то
имеет производные до n+1
до порядка, поэтому по формуле Тейлора
получим
.
Тогда при малых значениях h имеем приближенную формулу:
.
Эту формулу можно положить в основу численного метода
(1)
где
и т.д.
Метод
(3) называют методом p-го
порядка. Чем выше порядок метода, тем
он точнее и можно брать более крупный
шаг h.
Метод Эйлера имеет порядок
,
он самый простейший и поэтому его
точность часто недостаточно велика, и
необходимо использовать методы более
высоких порядков или брать очень
маленькие величины h.
С ростом p
вычисление производных быстро усложняется
и метод (1) поэтому не находит применения
при значениях
.
Вместо этого метода, Рунге и Кутт
предложили другой метод, наиболее
распространенный в наше время. Если в
i-м
узле
известно, то решение в этом узле берут
в виде
(2)
где
Параметры
выбирают так, чтобы метод имел требуемый
порядок p,
то есть, чтобы при разложении (2) по
степеням h
это разложение совпадало с (1) до степени
включительно.
Пример 25.1. Метод Рунге-Кутта 2-го порядка.
Требуется получить семейство методов 2-го порядка. Пусть
Разложим
по формуле Тейлора до слагаемых порядка
h
Отсюда, чтобы получить метод второго порядка, необходимо выполнение равенств
Тогда получим
Тогда получаем семейство методов Рунге-Кутта 2-го порядка
Наиболее часто используется схема предиктор-корректор a=1
а
так же усовершенствованный метод Эйлера
Конец примера.
Наиболее часто используется метод Рунге - Кутта 4-го порядка
Для оценки погрешности разностного метода существует эмпирическое правило Рунге:
Если
- решение, полученное на сетке с шагом
h,
а
- решение, полученное на сетке с шагом
,
то в общих узлах погрешность вычислений
приближенно равна
,
где p порядок метода.
Составим таблицу:
Метод
Эйлера
Метод
Рунге - Кутта второго порядка
.
Метод
Рунге - Кутта четвертого порядка
.
Полученное решение можно уточнить по формуле Ричардсона
,
повысив порядок метода еще на единицу.
Пример 25.2. Найти численное решение задачи Коши методом Рунге-Кутта второго порядка (схема предиктор - корректор)
Пусть h = 0.25, результаты расчетов приведем в таблице
Таблица 1.
-
i
0
0.0
1
0
0.23529
1
0.25
1.02941
0.22933
0.37971
2
0.5
1.10554
0.37547
0.44954
3
0.75
1.20867
0.44801
0.48126
4
1.0
1.32483
Пусть h = 0.125, результаты расчетов приведем в таблице
Таблица 2. ( ‑ уточнение по Ричардсону)
-
I
0
0.0
1
0
0.12308
0
1
1
0.125
1.00769
0.12217
0.23061
2
0.25
1.02974
0.22927
0.31479
0.00011
1.02985
3
0.375
1.06374
0.31356
0.37605
4
0.5
1.10685
0.37517
0.41881
0.00043
1.10728
5
0.625
1.15647
0.41827
0.44800
6
0.75
1.21061
0.44769
0.46765
0.00065
1.21126
7
0.875
1.26782
0.46749
0.58482
8
1.0
1.33359
0.00292
1.33651
Конец примера.