Вопрос 26.4. Линейно независимые и линейно зависимые системы функций. Определитель Вронского.
Определение 26.4. Система
функций
называется линейно независимой на
отрезке
,
если для всех x
из этого отрезка тождество
выполняется
при условии, что все числа
одновременно равны нулю.
В противном случае, то есть если хоть одно из чисел отлично от нуля, система называется линейно зависимой.
КОНЕЦ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
ПРИМЕР
1. Пусть даны две функции
,
.
Если
,
то, рассматривая его как равенство
многочленов, получаем
и
.
Другой способ, дифференцируя по x
получим
,
тогда
.
Таким образом,
и
линейно независимы.
КОНЕЦ ПРИМЕРА.
ПРИМЕР
2. Пусть даны две функции
,
.
Пусть
.
Дифференцируя по x,
получим
,
или
.
Тогда,
и
линейно зависимы.
КОНЕЦ ПРИМЕРА.
Пусть
дана система функций
.
Исследуем ее на линейную зависимость:
.
Дифференцируя, получим систему
Ее главный определитель называется определителем Вронского или вронскианом.
.
Система
имеет единственное решение, если ее
главный определитель отличен от нуля,
то есть
.
Этим единственным решением является
и
.
Система имеет множество решений, а
среде них и решения
и
,
если
.
Таким образом приходим к выводу, что
1) система функций линейно независима, если .
2) система функций линейно зависима, если .
ПРИМЕР
3. Пусть
и
.
Составим определитель Вронского
,
следовательно, функции и линейно независимы.
Конец примера.
Вопрос 26.5. Уравнение Лиувилля. Формула Лиувилля.
Теорема 26.5. Если и два независимых решения линейного однородного дифференциального уравнения, то их определитель Вронского удовлетворяет уравнению Лиувилля:
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вычислив производную определителя Вронского
Воспользуемся тем. что и есть решения линейного однородного дифференциального уравнения
Подставляя отсюда вторые производные, получим
.
Отсюда получаем уравнение Лиувилля .
КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.
СЛЕДСТВИЕ 1. (ФОРМУЛА ЛИУВИЛЛЯ). Если и есть решения линейного однородного дифференциального уравнения, то для определителя Вронского справедлива формула Лиувилля:
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как уравнение Лиувилля есть линейное дифференциальное однородное уравнение 1-го порядка, то его общее решение находится методом разделения переменных:
,
,
,
,
интегрируя
по отрезку по отрезку
,
получим
.
Отсюда следует, что
или
откуда получаем формулу Лиувилля
.
Конец доказательства.
Лекция № 27. Дифференциальные уравнения.
Вопрос 27.1. Следствия из формулы Лиувилля.
Следствие 27.1. Если
определитель Вронского
двух решений линейного однородного
дифференциального уравнения в некоторой
точке равен нулю, то он равен нулю для
всех x.
Доказательство.
Пусть в точке
определитель Вронского
.
По формуле Лиувилля
,
тогда
для всех x.
Конец доказательства.
Следствие 27.2. Если определитель Вронского двух решений линейного однородного дифференциального уравнения в некоторой точке не равен нулю, то он не равен нулю для всех x.
Доказательство. Предположим противное. Пусть в некоторой другой точке x определитель Вронского равен нулю. Тогда из следствия 27.1 следует, что для всех x, что противоречит условию следствия.
Конец доказательства.
Следствие 3. Если определитель Вронского двух решений линейного однородного дифференциального уравнения в некоторой точке не равен нулю, то эти решения линейно независимы.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из следствия 27.2 следует, что определитель Вронского отличен от нуля для всех x, а в лекции № 7 показано, что тогда решения линейно независимы.
КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.
СЛЕДСТВИЕ 4. Если
определитель Вронского
двух решений линейного однородного
дифференциального уравнения в некоторой
точке равен нулю, то эти решения линейно
зависимы.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из следствия 1 следует, что определитель Вронского равен нулю для всех x, а в лекции № 7 показано, что тогда решения линейно зависимы.
Конец доказательства.