Лекция № 16. Функции нескольких переменных.

Вопрос 16.1. Частные производные и дифференциалы старших порядков.

Определение 16.1. Частной производной n ‑ го порядка называется частная производная от n-1 ‑ го порядка.

Рассмотрим для примера функцию двух переменных . Первые производные этой функции

.

Вторые частные производные

.

Третьи частные производные

Пример 16.1. Вычислить частные производные до третьего порядка включительно от функции

Конец примера.

Из примера 16.1 видно, что смешанные производные не зависят от порядка их вычисления, например

.

Этот факт подтверждается теоремой

Теорема 16.1. Если смешанные частные производные непрерывны, то их величина независит от порядка взятия производной.

Доказательство. При доказательстве ограничемся смешанными производными второго порядка. Обозначим через и разностные опрераторы по переменным x и y соответственно:

Тогда

Аналогично

Сравнивая эти выражения, получим

.

С другой стороны

Здесь дважды была применена формула Лагранжа

.

Аналогично получим

.

Так как , то

.

Так как при , то в силу непрерывности смешанных производных

.

Конец доказательства.

Замечание 16.1. Производные старших порядков обозначают так же символом

,

где .

Определение 16.2. Дифференциалом n-го порядка от функции нескольких переменных называется выражение

при условии, что ‑ независимые переменные.

Пример 16.2.

,

то есть

.

Конец примера.

Исходя из свойств частной производной, легко установить, что

Можно так же доказать, что

.

Если вычисляется дифференциал порядка от независимой переменной, то он равен 0. Например

.

Для дифференциалов второго и более высокого порядка нарушается свойство инвариантности:

В последних двух слагаемых и равно 0 только, если x и y есть независимые переменные.

Вопрос 16.2. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.

Для функции одной переменной формула Тейлора имеет вид

Если вспомнить, что выполняются равенства и , то формулу Тейлора можно переписать так

,

Для функции нескольких переменых можно показать, что формула Тейлора принимает аналогичный вид

,

где C некоторая точка, лежащая на отрезке AX. Для и принимает вид

но , поэтому

Пример 16.3. Разложить по формуле Тейлора 1-го порядка в окрестности точки (0,0).

Конец примера.

Лекция № 17. Функции нескольких переменных.

Вопрос 17.1. Локальный экстремум функции нескольких переменных.

Определение 17.1. Точка из множества M называется точкой локального минимума функции , если для любого из некоторой окрестности точки .

Определение 17.2. Точка из множества M называется точкой локального максимума функции , если для любого из некоторой окрестности точки .

Определение 17.3. Точка из множества M называется точкой локального экстремума функции , если она является точкой локального минимума или точкой локального максимума.

Пример 17.1. . Точка (0,0) есть точка минимума, так как .

Конец примера.