Лекция № 13. Функции нескольких переменных.

Вопрос 13.1. Предел функции нескольких переменных.

Определение 13.1. Число A называется пределом функции нескольких переменных в точке , если для любой последовательности точек из области определения функции сходящейся к точке последовательность значений функции сходится к A, т.e.

.

Предел функции будем обозначать следующим образом

или

Свойства предела функции:

Свойство 13.1. Если функция имеет в точке конечный предел, то она ограничена в некоторой окрестности точки .

Свойство 13.2. Если функция имеет в точке конечный предел, то он единственен.

Свойство 13.3. Если , то .

Свойство 13.4. Если и имеет в точке конечный предел, то

.

Свойство 13.5. Если и имеет в точке конечный предел, то

.

Свойство 13.6. Если и имеет в точке конечный предел, то

.

Свойство 13.7. Если и имеет в точке конечный предел и , то

.

Справедливость свойств 13.1 – 13.7 вытекает из определения и свойств пределов числовых последовательностей.

Вопрос 13.2. Непрерывность функции нескольких переменных.

Определение 13.2. Функция n переменных называется непрерывной в точке своего определения, если

.

Определение 13.3. Функция n переменных называется непрерывной на множестве M, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Для непрерывных функций справедливы следующие свойства:

Свойство 13.8. Сумма или разность двух непрерывных функций является непрерывной функцией.

Свойство 13.9. Произведение двух непрерывных функций является непрерывной функцией.

Свойство 13.10. Частное от деления двух функций есть непрерывная функция, при условии, что функция, стоящая в знаменателе, отлична от нуля.

Свойство 13.11. (Непрерывность сложной функции). Пусть функции непрерывны в точке , функция непрерывна в точке . Если , то сложная функция непрерывна в точке .

Доказательство. Пусть последовательность точек сходится к точке . Тогда в силу непрерывности функций g последовательность точек сходится к точке . Поэтому, учитывая непрерывность функции , получаем

.

Конец доказательства.

Пример 13.1. Функция 2-х переменных непрерывна на всей вещественной плоскости, так как для любой точки и любой к ней сходящейся последовательности точек последовательность сходится к x. Аналогично, непрерывной функцией является функция . Тогда непрерывной будет функция . Аналогично, непрерывными будут функции .

Конец примера.

Вопрос 13.3. Частные производные функции нескольких переменных.

Определение 13.4. Частной производной функции n переменных по переменной называется обыкновенная производная этой функции, вычисленная при условии, что все другие переменные принимают постоянные значения. Другими словами, частная производная функции по переменной есть предел отношения приращения функции по аргументу к приращению этого аргумента

.

Другое обозначение для частной производной: .

Из определения частной производной функции следует, что она подчиняется обычным правилам дифференцирования функции одной переменной:

1) .

2) .

3) .

4) .

Пример 13.2. .

,

.

Конец примера.