Вопрос 25.2. Устойчивость, сходимость разностного метода. Влияние ошибок округления.

Определение 25.1. Разностный метод называют устойчивым, если существует константа C и шаг , такой, что для всех выполнено неравенство , где ‑ ошибка разностного решения, а ‑ ошибка задания начальных условий или правой части

Конец определения.

В теории разностных методов доказана теорема:

Теорема 25.1. Методы Рунге-Кутта устойчивы.

Метод может стать практически неустойчивым.

Определение 25.2. Пусть ‑ точное решение задачи Коши, а , i=0,1,2,...,n – решение, полученное разностным методом порядка p. Если существует константа C, такая что для всех

,

то говорят, что разностный метод имеет сходимость порядка p.

Конец определения.

Это означает, что при со скоростью .

Доказана следующая важная теорема:

Теорема 25.2. Порядок сходимости устойчивого разностного метода равен порядку метода.

Может сложиться впечатление, что при h®0 можно достичь любой заданной точности, но нельзя брать h очень малым из-за ошибок округления.

Лекция № 26. Дифференциальные уравнения.

Вопрос 26.1. Линейные дифференциальные уравнения. Основные определения и классификация.

Определение 26.1. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

,

где функции - называются коэффициентами, а функция - правой частью.

Конец определения.

Определение 26.2. Если коэффициенты линейного дифференциального уравнения не являются постоянными, то линейное дифференциальное уравнение называется уравнением с переменными коэффициентами, в противном случае уравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами.

Конец определения.

Замечание 26.1. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка содержит , которые входят в уравнения с первым порядком и связаны операциями умножения на функции, зависящие от x, и операциями сложения или вычитания. Кроме того, мы будем всегда считать, что .

В дальнейшем ограничимся рассмотрением линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с . Такое уравнение можно всегда приставить в виде

.

Вопрос 26.2. Задача коши для линейного дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности.

Задача Коши для линейного дифференциального уравнения имеет вид:

.

, .

Справедлива следующая теорема:

Теорема 26.1. (Теорема существования и единственности). Если коэффициенты и правая часть непрерывны на отрезке , то на этом отрезке задача Коши всегда имеет единственное решение.

Вопрос 26.3. Общие свойства линейных уравнений.

Обозначим левую часть линейного дифференциального уравнения через

L - называют линейным дифференциальным оператором.

ЛЕММА 1. Линейный дифференциальный оператор обладает свойством линейности

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определению дифференциального оператора

Умножая первое равенство на , а второе на и складывая, получим

КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.

ТЕОРЕМА 2. Если и - есть решения линейного однородного дифференциального уравнения, то и есть решение того же самого уравнения.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как и , то

КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.

ТЕОРЕМА 3. (Принцип суперпозиции). Если y(x) есть решение линейного уравнения а u(x) есть решение линейного уравнения то линейная комбинация ay(x)+bu(x) есть решение линейного неоднородного уравнения

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По свойству линейности

КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Физическая сущность принципа суперпозиции заключается в следующем. Пусть y(x) описывает состояние (отклик) системы на внешнее воздействие f(x). Тогда, если внешнее воздействие увеличивается в a раз, то и отклик увеличивается в a раз. Если внешнее воздействие есть сумма (разность) двух воздействий (суперпозиция), то и состояние системы есть сумма или разность двух состояний. Принцип суперпозиции справедлив только для линейных систем, то есть для систем описываемых линейными уравнениями.

Теорема 26.4. Если y(x) есть решение однородного уравнения , а u(x) есть решение неоднородного уравнения , то y+u есть решение того же самого уравнения .

Доказательство теоремы очевидно.