12.2 Обрахування частотних характеристик сак на еом.

В практиці досліджень систем керування на ЕОМ важливе місце займають частотні методи з використанням передавальних функцій і частотних характеристик. Ці методи є ефективними при аналізі як безперервних, так і дискретних систем. А при використанні для досліджень ЦОМ, як вже відмічалось, усі алгоритми мають бути машино-орієнтованими, тобто приведеними до дискретної форми.

Безпреревні системи керування в лінійному наближенні задані своїми рівнянями:

X(t)=AX(t)+BU(t); Y(t)=CX(t)+DU(t),

(8.1)

де X(t) - вектор стану системи; розмірність (n1);

U(t) - вектор управління розмірністю (r1);

Y(t)-вектор управляємих змінних, що має розмірність (g1 ) (часто g=r ).

Матриці A, B, C i D при цьому мають розмірність (nn), (nr), (gn) і (gr) . Відовідна структурна схема була розглянута у другому розділі.

Знайдемо МПФ, для чого рівняння (8.1) перетворимо за допомогою формули Лапласа (при ненульових початкових умовах). Тоді маємо

pX(p)-X(0)=AX(p)+BU(p); Y(p)=CX(p)+DU(p).

(8.2)

Перше рівняння перепишемо

[pI-A]X(p)=BU(p)+X(0),

звідки його рішення в операторній формі дорівнює

X(p)=[pI-A]-1BU(p)+[pI-A]-1X(0)

(8.3)

Рішення (8.3) підставимо в друге рівняння (8.2):

Y(p)=C[pI-A]-1BU(p)+C[pI-A]-1X(0)+DU(p)= =[C(pI-A)-1B+D]U(p)+C(pI-A)-1X(0).

(8.4)

На основі (8.4) можна записати різні передавальні функції системи, наприклад,

WYU(p)=C(pI-A)-1B+D; WYX(p)=C(pI-A)-1=CФ(p),

(8.5) (8.6)

де Ф(р) -зобpаження пеpехiдної матpиці системи.

Звоpотня (iнвеpсна) матpиця знаходиться за пpавилом

(8.7)

де det(pI-A) -ненульовый дeтеpмінант матpиці (pI-A).

Пpиєднана матриця Adj(pI-A) отримується шляхом транспонування матриці, складеної із мінорів кожного елемента матриці (pI-A), які беруться зі знаком (-1)^i+j.

13.1 Моделювання об”єктів керування та систем на основі потенційних функцій. Рівняння Лагранжа.

В теорії оптимальних систем та при аналітичному конструюванні оптимальних регуляторів і керуючих пристроїв важливим є поняття про ціль керування та її формалізування, тобто отримання критеріїв синтезу регуляторів.Серед цих критеріїв привабливим є клас так званих фізично вимірюваних критеріїв, які повязані з фазовими координатами (поширеними є так звані квадратичні векторно-матричні форми).До цього класу в першу чергу відносяться, зокрема, потенційні функції типу функцій Лагранжа, Гамільтона, Беллмана, Ляпунова та ін. Вони відіграють велику роль при синтезі та функціонуванні обєктів та систем керування.

4.1. Рівняння Лагранжа

Запишемо рівняння рівноваги для простої механічної системи у вигляді деякої маси М, що урівноважена пружиною К (рис.4.1). Приймемо допущення, що із силами тертя можна не рахуватися. Тоді кінетичну енергію для рухомого тіла з масою М записуємо /29/:

(4.1)

а потенційна енергія пружини К дорівнює:

(4.2)

Умови рівноваги системи відповідають випадку, результативна сила дорівнює нулю (принцип Д’Аламбера), тобто:

(4.3)

Рис.4.1

У нашому випадку система S має дві такі сили:

сила пружини

сила, обумовлена рухомою масою

Відповідно до принципу Д’Аламбера, умова рівноваги системи має вигляд:

(4.4)

Складові в (4.4) виразимо через кінетичну та потенційну енергії:

Тоді (5.4) приймає вигляд:

(4.5)

що є специфічним випадком рівняння руху Лагранжа для системи без витрат:

(4.6)

В (4.6) змінні q_i, мають назву узагальнених координат (n – число степеней свободи). У свою чергу q_i, є складові узагальненого вектора швидкості зміни вектора координат q=(q₁,…,q_n)^T.

За допомогою узагальнених координат можна описати, наприклад, переміщення при поступовому рухові (похідна від переміщення є швидкість), кутовий здвиг при обертанні (у цьому випадку похідна співпадає з кутовою швидкістю), заряд в електричному ланцюзі (похідна визначає напругу). Узагальненні координати можна визначити також і для інших систем, але у більш складних випадках доводиться використовувати декілька різноманітних наборів координат.

Наприклад, для опису руху в трьохвимірному просторі необхідно використовувати три узагальнені координати і відповідно три швидкості. Опис електромеханічних систем включає узагальнені координати й швидкості, які мають дві групи змінних для механічних та електричних величин.

Розглянемо потенційну функцію Лагранжа, яка є різницею кінетичної та потенційної енергії:

(4.7)

де потенційна енергія може залежати лише від вектора координат q.

Через потенційну функцію Лагранжа можна знайти узагальнені імпульси та сили. Часткова похідна від кінетичної енергії Т по вектору швидкості називається узагальненим імпульсом:

(4.8)

який можна записати через функцію Лагранжа:

(4.9)

Похідна потенційної енергії по узагальненому вектору називається узагальненою силою:

(4.10)

Якщо кінетична енергія не залежить від q, тобто , то вектор сили можна також визначить за допомогою функції Лагранжа:

(4.11)

В (4.10) і (4.11) узагальнена сила є результативною усіх сил, які діють у середині системи. Інші сили (зовнішні сили та сили тертя) розглянемо далі.

Інколи імпульси та сили відомі, а необхідно знайти функцію Лагранжа (лагранжіан). Тоді необхідно знайти кінетичну та потенційну енергії відповідно з формулами:

(4.12)

де індекси v і визначають змінну інтегрування.

Якщо якобіани симетричні, тобто:

то величини інтегралів (4.12) не залежать від шляху інтегрування і шлях зручно вибирати так, щоб його послідовні відрізки були паралельні координатним вісям.

Розглянемо рівняння Лагранжа. Це рівняння є системою з n диференційних рівнянь другого порядку, які описують динаміку системи через узагальнені координати q_i та узагальнені швидкості . Для ілюстрації почнемо з того, що розглянемо систему n точок із постійними масами M_i. Припустимо, для спрощення, що кожна частка рухається вдовж будь-якої координатної вісі і що вісі взаємно ортогональні. По закону Ньютона /21/:

(4.13)

де P_i=M_ix_i – кількість руху і-ої частки;

f_i – результуюча всіх діючих на частку сил.

Систему рівнянь (4.13) можна записати у векторній формі:

(4.14)

де – вектор сили;

– вектор кількості руху;

М=diag[M₁,…,M_n] – діагональна матриця.

Переведемо опис цієї системи в координатну систему q₁,q₂,…,q_n. Якщо нові координати не залежать від похідних старих координат, то формули такого переходу можна визначити деяким (взагалі нелінійним) співвідношенням:

X=X(q). (4.15)

Похідна вектора у старій системі координат:

(4.16)

залежить від координат цього вектора у новій системі та від вектора швидкості.

Кінетична енергія системи дорівнює (в квадратичній векторно-матричній формі):

(4.17)

де M=diag(M₁,…,M_n). Таким чином . Використовуючи рівняння:

(4.18)

знайдемо похідну кінетичної енергії відносно вектора q:

(4.19)

По аналогії з (4.19) маємо:

(4.20)

де ступень “Т” означає операцію транспонування.

При перетвореннях (4.20) використано:

(4.21)

Знайдемо похідну за часом від (4.20):

(4.22)

Згідно з (4.14), (4.19) формулу (4.22) переписуємо у вигляді:

(4.23)

Введемо вектор узагальненої сили Q:

тоді рівняння Лагранжа запишеться у вигляді:

(4.24)

або у скалярній формі:

(4.25)

Система (4.25) має n рівнянь другого порядку, вони можуть бути також нелінійними.

Конкретизуємо сили, які діють у системі, для чого урахуємо втрати та демпфування. Узагальнені сили Q_i визначаються комбінацією трьох складових:

Q_i=-f_i-d_i+k_i, (4.26)

де f_i – внутрішні сили;

d_i – сили демпфірування;

k_i – зовнішні сили.

У векторній формі:

(4.27)

Внутрішні сили можна визначити рівнянням (4.10), звідки слідує, що сила діє на частки, потенційна енергія яких відмінна від нуля. Тому ця сила до Q входить зі знаком мінус.

У присутності тільки в’язкого тертя сили демпфування задаються виразом:

(4.28)

Введемо дисипативну функцію Релея, тоді:

(4.29)

де B=diag(b₁,b₂,…,b_n). При цьому сили демпфування:

(4.30)

також заважають рухові, тому до Q входять зі знаком мінус. Тільки k_i зовнішніх сил сприяє зростанню q_i, що обумовлює знак плюс для k_i. Тоді рівняння Лагранжа приймає вигляд:

(4.31)

або у скалярній формі:

(4.32)

Уведемо до (4.32) лагранжіан, тоді маємо:

(4.33)