2. Розрахунок ачх на еом: визначення матричної передавальної функції об’єкта регулювання по рівнянням стану.

Безпреревні системи керування в лінійному наближенні задані своїми рівнянями:

X(t)=AX(t)+BU(t); Y(t)=CX(t)+DU(t),

(8.1)

де X(t) - вектор стану системи; розмірність (n1);

U(t) - вектор управління розмірністю (r1);

Y(t)-вектор управляємих змінних, що має розмірність (g1 ) (часто g=r ).

Матриці A, B, C i D при цьому мають розмірність (nn), (nr), (gn) і (gr) . Відовідна структурна схема була розглянута у другому розділі.

Знайдемо МПФ, для чого рівняння (8.1) перетворимо за допомогою формули Лапласа (при ненульових початкових умовах). Тоді маємо

pX(p)-X(0)=AX(p)+BU(p); Y(p)=CX(p)+DU(p).

(8.2)

Перше рівняння перепишемо

[pI-A]X(p)=BU(p)+X(0),

звідки його рішення в операторній формі дорівнює

X(p)=[pI-A]-1BU(p)+[pI-A]-1X(0)

(8.3)

Рішення (8.3) підставимо в друге рівняння (8.2):

Y(p)=C[pI-A]-1BU(p)+C[pI-A]-1X(0)+DU(p)= =[C(pI-A)-1B+D]U(p)+C(pI-A)-1X(0).

(8.4)

На основі (8.4) можна записати різні передавальні функції системи, наприклад,

WYU(p)=C(pI-A)-1B+D; WYX(p)=C(pI-A)-1=CФ(p),

(8.5) (8.6)

де Ф(р) -зобpаження пеpехiдної матpиці системи.

Звоpотня (iнвеpсна) матpиця знаходиться за пpавилом

(8.7)

де det(pI-A) -ненульовый дeтеpмінант матpиці (pI-A).

Пpиєднана матриця Adj(pI-A) отримується шляхом транспонування матриці, складеної із мінорів кожного елемента матриці (pI-A), які беруться зі знаком (-1)^i+j.

11.1 Числове обрахування звичних диференційних рівнянь. Однокрокові методи.

З метою спрощення спочатку розглянемо диференційне рівняння першого порядку загального виду

.

(5.8)

Знайти рішення (5.8) означає, що необхідно виконати інтегрування цього рівняння на ЦОМ. Як уже відмічалось спочатку (5.8) необхідно перетворити в обчислювальну модель (машино-орієнтований алгоритм). Така процедура може виконуватися декількома способами, наприклад,

1. застосовуючи визначення похідної та дискретний час;

2. виконуючи z-перетворення попердньо лінеарізованого вирішуємого рівняння.

Згідно з першим методом маємо

.

Вводимо дискретний аргумент:

t=a+ih, i0,N,

де Nh=T_кін- виділений час на інтегрування;

h- величина крока інтегрування,

t₀=a -початкове значення аргумента.

Тоді похідна записується

.

Якщо опустити операцію знаходження , то замість (6.8) записуємо

(5.9)

Формула (5.9) є машино-орієнтованим алгоритмом, який допускає проведення числового інтегрування. Знайдемо формулу, аналогічну (5.9) за допомогою z-перетворення. Введемо оператори інтегрування (для методів прямокутника, трапеції і т.ін. окремо) та оператора похідної, тобто

(5.10)

При визначенні відповідних значень початкових умов оператор І стає зворотнім оператору D. Якщо інтегрування ведеться по методу прямокутників (метод Ейлера), то оператор інтегрування в z-відображенні дорівнює /31/

I=h/(z-1).