15.2 Алгоритм шпф для функції часу із 8 відліків.

(8.5)

ЗАЛІКОВИЙ БІЛЕТ № 16

1.

Явний метод Ейлера.

Явний метод Ейлера відповідає кінцево-різницевій апроксимації похідної (t) в момент часу t_m, тобто

Тому отримуємо формулу X_m+1  X_m+h_mF(x_m,h_m),

та її модифікацію виду:

Далі приймаємо і=1 (модельне рівняння першого порядку) і знайдемо похибку метода (локальну похибку апроксимації) _m^M. Припустимо, що X_m - точне рішення у точці t_m, тобто Х_m=f(t_m) і знайдемо точне значення у точці t_m+1. В основу розрахунків покладено формулу Тейлора:

де при t_m<t, або при t_m>t .

Формула явного метода Ейлера для одного рівняння першого порядку =f(x,t) з урахуванням x_m=x(t_m) записується у вигляді

.

Введемо в формулу ряду Тейлора (5.27) час t=t_m+1, тоді точне значення рішення x(t) у точці t_m+1 записується

Віднімаємо від точного рішення (5.28) явну формулу Ейлера. Тоді

Похибка апроксимації пропорційна h_m², а друга похідна x(t) оцінюється в деякій точці поміж t_m та t_m+1.

Поліном стійкості явного метода Ейлера має вид:

і його рішенням є один корінь z₁=1+h_m.

Тому умовою абсолютної стійкості є: 1+h_m  1, або [1+Re(h_m)]²+[Im(h_m)]² 1,

що відповідає площі круга одиничного радіуса з центром у точці (0,-1) (рис.5.4): При  дійсному та при знаку мінус умови стійкості записуються як h_m 2Т.

Для системи ЗДР ця умова має вигляд: h_m 2Т_min де T_min - мінімальна постійна часу для цієї системи. Обмеження h_m по умовах стійкості є недоліком усіх явних методів інтегрування (Рунге-Кутта, Адамса та ін.). Явні методи не використовуються для інтегрування жорстких систем ЗДР тому, що вимагають значної кількості кроків.

Алгоритм явного метода Ейлера для інтегрування системи ЗДР виду

=F(X,t), X(t₀)0.

1. Задаються початкові дані: Х₀, Т_кін, , h_max.

2. Задаються початкові значення змінних: X_m:=X₀; t_m:=0.

3.Виконується обчислення вектора правих частин системи ЗДР F(X_m, t_m).

4. Визначається крок інтегрування h_m по формулах (5.30) та (5.31).

5. Виконується крок: X_m:=X_m+h_mF(X_m, t_m).

6. Обчислюється t_m:=t_m+h_m та виводяться на друк результати X_m( t_m ).

7. Якщо t_m T_кін, то виконується перехід до пункту 3.

Явний метод Ейлера простий в реалізації і має невеликі обчислювальні затрати на один крок інтегрування, крім того він відносно стійкий для всіх Re(h) 0. Але по причині нестійкості в області уявної координатної вісі цей метод не варто використовувати для вирішення систем з коливальними траєкторіями.

2.

Функція Лагранжа та її зв”язок з імпульсом та силами.

Запишемо рівняння рівноваги для простої механічної системи у вигляді деякої маси М, що урівноважена пружиною К (рис.4.1). Приймемо допущення, що із силами тертя можна не рахуватися. Тоді кінетичну енергію для рухомого тіла з масою М записуємо /29/:

(4.1)

а потенційна енергія пружини К дорівнює:

(4.2)

Умови рівноваги системи відповідають випадку, результативна сила дорівнює нулю (принцип Д’Аламбера), тобто:

(4.3)

Рис.4.1

У нашому випадку система S має дві такі сили:

сила пружини

сила, обумовлена рухомою масою

Відповідно до принципу Д’Аламбера, умова рівноваги системи має вигляд:

(4.4)

Складові в (4.4) виразимо через кінетичну та потенційну енергії:

Тоді (5.4) приймає вигляд:

(4.5)

що є специфічним випадком рівняння руху Лагранжа для системи без витрат:

(4.6)

В (4.6) змінні q_i, мають назву узагальнених координат (n – число степеней свободи). У свою чергу q_i, є складові узагальненого вектора швидкості зміни вектора координат q=(q₁,…,q_n)^T.

За допомогою узагальнених координат можна описати, наприклад, переміщення при поступовому рухові (похідна від переміщення є швидкість), кутовий здвиг при обертанні (у цьому випадку похідна співпадає з кутовою швидкістю), заряд в електричному ланцюзі (похідна визначає напругу). Узагальненні координати можна визначити також і для інших систем, але у більш складних випадках доводиться використовувати декілька різноманітних наборів координат.

Наприклад, для опису руху в трьохвимірному просторі необхідно використовувати три узагальнені координати і відповідно три швидкості. Опис електромеханічних систем включає узагальнені координати й швидкості, які мають дві групи змінних для механічних та електричних величин.

Розглянемо потенційну функцію Лагранжа, яка є різницею кінетичної та потенційної енергії:

(4.7)

де потенційна енергія може залежати лише від вектора координат q.

Через потенційну функцію Лагранжа можна знайти узагальнені імпульси та сили. Часткова похідна від кінетичної енергії Т по вектору швидкості називається узагальненим імпульсом:

(4.8)

який можна записати через функцію Лагранжа:

(4.9)

Похідна потенційної енергії по узагальненому вектору називається узагальненою силою:

(4.10)

Якщо кінетична енергія не залежить від q, тобто , то вектор сили можна також визначить за допомогою функції Лагранжа:

(4.11)

В (4.10) і (4.11) узагальнена сила є результативною усіх сил, які діють у середині системи. Інші сили (зовнішні сили та сили тертя) розглянемо далі.

Інколи імпульси та сили відомі, а необхідно знайти функцію Лагранжа (лагранжіан). Тоді необхідно знайти кінетичну та потенційну енергії відповідно з формулами:

(4.12)

де індекси v і визначають змінну інтегрування.

Якщо якобіани симетричні, тобто:

то величини інтегралів (4.12) не залежать від шляху інтегрування і шлях зручно вибирати так, щоб його послідовні відрізки були паралельні координатним вісям.

Розглянемо рівняння Лагранжа. Це рівняння є системою з n диференційних рівнянь другого порядку, які описують динаміку системи через узагальнені координати q_i та узагальнені швидкості . Для ілюстрації почнемо з того, що розглянемо систему n точок із постійними масами M_i. Припустимо, для спрощення, що кожна частка рухається вдовж будь-якої координатної вісі і що вісі взаємно ортогональні. По закону Ньютона /21/:

(4.13)

де P_i=M_ix_i – кількість руху і-ої частки;

f_i – результуюча всіх діючих на частку сил.

Систему рівнянь (4.13) можна записати у векторній формі:

(4.14)

де – вектор сили;

– вектор кількості руху;

М=diag[M₁,…,M_n] – діагональна матриця.

Переведемо опис цієї системи в координатну систему q₁,q₂,…,q_n. Якщо нові координати не залежать від похідних старих координат, то формули такого переходу можна визначити деяким (взагалі нелінійним) співвідношенням:

X=X(q). (4.15)

Похідна вектора у старій системі координат:

(4.16)

залежить від координат цього вектора у новій системі та від вектора швидкості.

Кінетична енергія системи дорівнює (в квадратичній векторно-матричній формі):

(4.17)

де M=diag(M₁,…,M_n). Таким чином . Використовуючи рівняння:

(4.18)

знайдемо похідну кінетичної енергії відносно вектора q:

(4.19)

По аналогії з (4.19) маємо:

(4.20)

де ступень “Т” означає операцію транспонування.

При перетвореннях (4.20) використано:

(4.21)

Знайдемо похідну за часом від (4.20):

(4.22)

Згідно з (4.14), (4.19) формулу (4.22) переписуємо у вигляді:

(4.23)

Введемо вектор узагальненої сили Q:

тоді рівняння Лагранжа запишеться у вигляді:

(4.24)

або у скалярній формі:

(4.25)

Система (4.25) має n рівнянь другого порядку, вони можуть бути також нелінійними.

Конкретизуємо сили, які діють у системі, для чого урахуємо втрати та демпфування. Узагальнені сили Q_i визначаються комбінацією трьох складових:

Q_i=-f_i-d_i+k_i, (4.26)

де f_i – внутрішні сили;

d_i – сили демпфірування;

k_i – зовнішні сили.

У векторній формі:

(4.27)

Внутрішні сили можна визначити рівнянням (4.10), звідки слідує, що сила діє на частки, потенційна енергія яких відмінна від нуля. Тому ця сила до Q входить зі знаком мінус.

У присутності тільки в’язкого тертя сили демпфування задаються виразом:

(4.28)

Введемо дисипативну функцію Релея, тоді:

(4.29)

де B=diag(b₁,b₂,…,b_n). При цьому сили демпфування:

(4.30)

також заважають рухові, тому до Q входять зі знаком мінус. Тільки k_i зовнішніх сил сприяє зростанню q_i, що обумовлює знак плюс для k_i. Тоді рівняння Лагранжа приймає вигляд:

(4.31)

або у скалярній формі:

(4.32)

Уведемо до (4.32) лагранжіан, тоді маємо:

(4.33)

ЗАЛІКОВИЙ БІЛЕТ № 17

1.

Геометричний підхід у багатокроковій процедурі інтегрування звичайних диференційних рівнянь.

Припустимо, що інтегрується деяка безперервна функція , тобто

Геометричне тлумачення x(t) зводиться до площі під кривою f(x,t) (в деякий системі координат). Один із способів чисельного інтегрування полягає у зміні f(t) кусочно-постійною функцією f(ih), де i0,N, N=Т_кін/h при h=const. Ця площа в даному випадку наближено дорівнює сумі площ всіх елементарних прямокутників:

Формулу (5.44) представимо в рекурентній формі. Це означає, що по величині x[(i-1)h] необхідно отримати x(Nh):

Згідно з (5.43) для поточного моменту часу t_m формулу (5.45) можна переписати (5.45) у вигляді:

Замість правої частини диференційного рівняння f(x,t), як ясно із попереднього, інтегрують який-небудь інтерполяційний поліном, який визначається величинами f_m, f_m-1, f_m-2,..., f_m-j+1, j1,р. Ці величини обчислюються раніш та розташовуються у пам’яті ЕОМ. Така процедура має назву ще екстраполяції. Її виконують по одній із двох формул Ньютона /32/:

де u=(t-t₀)/t - розподілена різниця з t=t₁-t₀=h=const;

x(t)=x(t+t)-x(t); x(t)=x(t)-x(t-t) - права і ліва кінцеві різниці.

Використовуючи другу екстраполяційну формулу Ньютона (5.48), інтегрування (5.46) дає формулу Адамса /32/:

Якщо відсікати в (5.49) послідовно кінцеві різниці все більш високого порядку, то можна отримати:

явну форму Ейлера

x_m+1x_m+f_m(.)h_m;

формулу Сімпсона (правило трапеції):

x_m+1 x_m+(f_m+(1/2)[f_m-f_m-1])h_m = x_m+(1/2)(2f_m-f_m-1)h_m.

формулу третього порядку:

x_m+1 x_m+(f_m+(1/2)f_m+(5/12)²f_m)h_m=

=x_m+(1/12)(23f_m-6f_m-1+5f_m-2)h_m.

Отриману таким чином формулу четвертого порядку називають формулою Адамса-Башфорта .

2.

Неавтономна система Лагранжа.

Лагранжева неавтономная система отличается от автономной, которую мы рассматривали до сих пор, дополнительной зависимостью функции Лагранжа от времени:

L: ТМ х R -v R, L = L (д, д, t).

В частности, в неавтономной натуральной системе от времени может зависеть как кинетическая, так и потенциальная энергия:

Т: ТМ xR->R, U: ¥xR->R, Т = Т (д, д, t), U = U (д, t).

Система п материальных точек, стесненных голономными связями, зависящими от времени, определяется при помощи меняющегося со временем подмногообразия конфигурационного пространства свободной системы. Такое многообразие задается отображением

t: М х R—*--E73n, i (g, t) — х,

которое при каждом фиксированном JGR определяет вложение М _ЁЗП. Рецепт п. Г остается в силе для неавтономных систем.

Пример. Движение бусинки по вертикальной окружности радиуса г (рис. 68), вращающейся с угловой скоростью со вокруг вертикальной оси, проходящей через центр О окружности. Многообразие М — окружность.

Обозначим через q угловую координату на окружности, отсчитываемую от верхней точки.

Пусть х, у, z — декартовы координаты и Е3 с началом О и вертикальной осью z. Пусть ср — угол плоскости окружности с плоскостью xOz. По условию ф = cot. Отображение i: М х R —» -Б3 задается формулой

i (q, t) = (г sin q cos соt, r sin q sin co£, r cos q).

Из этой формулы (а проще — из «прямоугольного бесконечно малого треугольника») находим

т

Т = ~2~ (err2 sina q + г212), U — mgr i os q.

На наше счастье функция Лагранжа L = Т — U оказалась не зависящей от t, хотя связь и зависит от времени. Кроме того, функция Лагранжа оказалась такой же, как в одномерной системе с кинетической энергией

М

Т0 = — q\ М = mr\ и с потенциальной энергией

m

V — A cos q — В sin2 q, А = mgr, В = со2га.

Вид фазового портрета зависит от соотношения между А и В. При 2В < А (т. е. при таком медленном вращении окружности, что соаг < g) нижнее положение бусинки (q — л) устойчиво и характер движения в общем такой же. как в случае математического маятника (о = 0).

ЗАЛІКОВИЙ БІЛЕТ № 18

1.

Інтегрування звичайних ДР по методу “прогноз-корегування”.

При багатокроковому інтегруванні прогноз виконують по формулі Адамса (5.49), при цьому вводять позначення . Величина покрашує апроксимацію х(t_m+1). Корегування або уточнення виконують по неявній формулі (квадратурна формула замкнутого типу):

Формула корегування обмежується аналогічно формулі Адамса на різницях відповідних порядків. Різниця поміж скорегованими та прогнозованими величинами є оцінкою локальної похибки апроксимації.

При відповідному виборі кроку t=h похибку можна зробити меншою за певний допуск. Є метод інтегрування, у якому прогноз виконують по формулі Адамса-Башфорта:

а корегування по Адамсу-Мултону:

2.

Z-перетворення рішення кінцево-різничного рівняння з правою

частиною у векторно-матричній формі.

Z-перетворення, як і багато інтегральні перетворення, може бути

задано як одностороннє і двостороннє

Двостороння Z-перетворення X (z) дискретного тимчасового сигналу

x [n] задається як:

де n - ціле, z - комплексне число.

де A - амплітуда, а - Кутова частота (в радіанах на відлік)

1.2. Одностороннє Z-перетворення

У випадках, коли x [n] визначена тільки для , Одностороннє

Z-перетворення задається як:

2. Зворотне Z-перетворення

Зворотне Z-перетворення визначається, наприклад, так:

де C - Контур, що охоплює область збіжності X (z) . Контур повинен

містити всі відрахування .

Поклавши в попередній формулі z = r e j φ , Одержимо еквівалентне визначення:

ЗАЛІКОВИЙ БІЛЕТ № 19

1.

Моделювання статичних режимів САК на ЕОМ: методи вирішення

систем алгебраїчних рівнянь (АР). Метод Крамера.

Статичний режим наступає після закінчення перехідних процесів, тобто при t. Математичні моделі статичних режимів визначаються за математичними

моделями динамічних режимів шляхом рівняння до нуля похідних в останніх, тобто

Таким чином, необхідно досліджувати рішення системи алгебраїчних рівнянь

(АР) n-го порядку,

Метод Крамера (Крамера правило) — спосіб розв'язання квадратних систем

лінійних алгебраїчних рівнянь із ненульовим визначником основної матриці

(при цьому для таких рівнянь розв'язок існує і є єдиним).

У такій формі формула Крамера справедлива без припущення, що не рівне нулю, не треба

навіть, аби коефіцієнти системи були елементами цілісного кільця (визначник системи навіть

може бути дільником нуля у кільці коефіцієнтів). Також можна вважати, що або набори b1,b2..bn та x1,x2..xn , або набір c1,c2..cn складаються не з елементів кільця коефіциєнтів системи, а деякого

модуля над цим кільцем. В такому вигляді формула Крамера використовується, наприклад, при

доведенні формули для визначника Грама і Леми Накаями.

2.

Рівняння стану Гамільтона.

Якщо система консервативна, тобто відсутні зовнішні сили та сили в’язкого тертя, то (4.33) спрощується і приймає вигляд:

(4.34)

Уводиться функція Гамільтона (гамільтоніан):

(4.35)

Використовуючи гамільтоніан, в рівнянні (4.34) перейдемо від лагранжіану (потенційної функції) до координат у вигляді узагальненого вектора координат q(q_i, ) та узагальненого імпульсу p(p_i, ). З цією метою записуємо вираз для повного диференціалу:

(4.36)

Згідно з (4.34) можемо записати:

(4.37)

В (4.37) ураховано визначення узагальненого імпульсу (4.9). Тоді другий елемент у (4.36) має вигляд:

Для останнього елемента (4.36) маємо:

Перший та останній члени суми (4.36) подібні і мають різні знаки, тому вони у подальших викладках не ураховуються і для диференціалу маємо:

Звідки виникають два канонічних диференційних рівняння Гамільтона:

(4.38)

З рівнянь (4.38) видно, що:

(4.39)

(обидві складові однакові та мають різні знаки). Таким чином для консервативної системи функція Гамільтона не залежить від часу і є фіксованою. Тому любий гамільтоніан, який задовольняє канонічним рівнянням (4.38), є інваріантом руху системи. Визначимо фізичний зміст функції Гамільтона. Для цього розглянемо першу складову рівняння (4.35). Згідно з (4.8), (4.9) ця складова дорівнює:

(4.40)

де кінетична енергія системи (4.17):

(4.41)

тоді:

(4.42)

і підстановка (4.42) в (4.40) з урахуванням (4.41) дає:

(4.43)

Тепер виконаємо підстановку (4.48) та (4.7) в (4.35), що дає:

(4.44)

Таким чином гамільтоніан є загальною (сумарною) енергією консервативної системи, вона дорівнює сумі кінетичної та потенційної енергії.

З точки зору теорії оптимальних систем автоматичного керування важливим є поняття принципу Гамільтона. Згідно з рівнянням Лагранжа (4.34), функція Лагранжа задовольняє рівнянню Ейлера-Лагранжа, яке в свою чергу дає необхідні умови екстремуму фунціонала:

(4.45)

Тому функцію Гамільтона можна вважати цільовою екстремальною функцією консервативної системи. Необхідні умови екстремуму мають вигляд:

(4.46)

ЗАЛІКОВИЙ БІЛЕТ № 20

1.

Метод Гауса.

Метод Гауса. Заснований на послідовному виключенні невідомих до тих пір, доки не зостанеться тільки одне рівняння з одним невідомим у лівій частині. Потім рівняння вирішується, отримане значення невідомого підставляється в попередні рівняння з двома невідомими і знаходиться наступна невідома, значення невідомих підставляються в рівняння з трьома невідомими і т.д.

У зворотньому порядку послідовно знаходяться усі елементи вектора X. Таким чином, метод Гауса складається із двох етапів: прямий хід та зворотній хід.

Прямий хід полягає у перетворенні матриці А в матрицю трикутньої форми:

1. Нехай к=1.

1. Необхідно перевірити, чи не дорівнює нулю a_kk.

1. Якщо так, то k-а стрічка стає робочою стрічкою. Якщо ні, то змінюють k-ту стрічку на l-ту (l>k), у якій a_lk0.

1. Для i=k+1; k+2;...;n обчислюють нові матричні елементи, які позначимо, як і раніш, по правилу: для j=k; =a_ij+q_i a_kj для j  k де q_i=-a_ik / a_kk.

По аналогії перетворюються праві частини рівнянь:

1. Збільшують k на одиницю, якщо k  n-2 і починають знову з пункту 2. Таким чином отримують верхню трикутну матрицю

Зворотній хід полягає у обчисленні вектор-рішення

1. Для i=n-1, n-2,...,1.

Наведений метод Гауса має деякі особливості, наприклад, всі елементи на діагоналі матриці A повинні бути ненульовими ( 0).

2.

Аналіз системи з одним ступенем свободи.

Виконуємо дослідження системи з одним ступенем свободи на фазовій площині /20,41/. Функція Гамільтона для цієї системи дорівнює:

(4.47)

Це повна енергія системи Е=Г(x,y)=Г , вона не залежить від часу і являється інтегралом руху, тобто E=inv.

Запишемо канонічні рівняння Гамільтона:

(4.48)

де х²=2m(E-V(y)) знайдемо з (4.47) при прийнятті Г(x,y)=E.

Інтегрування системи рівнянь (4.48) при деяких початкових умовах дає траєкторію руху по кожній із координат:

(4.49)

де Е₀=Г(х₀,у₀).

Інтегральні криві можна отримати за допомогою метода фазової площини /20,41/. При цьому важливу роль відіграють такі особливі точки фазової площини як точки рівноваги /20/, які відповідають умовам , тобто:

(4.50)

З (4.50) слідує, що у стані рівноваги швидкість (4.48) дорівнює нулю, а потенційна функція V(y) має екстремум. Це можна проілюструвати малюнком (рис. 4.2). Рівняння фазової площини – це залежність координат (швидкості та координати) при виключенні з цієї залежності часу t.

Складемо таке рівняння. Із системи (4.48) по другому диференційному рівнянню маємо:

(4.51)

Лінеарізуємо (4.51) у точках рівноваги досліджуємої системи (х_р,у_р). Запишемо спочатку рівняння у варіаціях:

(4.52)

Потенційну функцію V(y-y_p) запишемо у ряд Тейлора, де обмежуємось членом із другою похідною. Тоді будемо мати:

(4.53)

де (точки рівноваги).

Рис. 4.2

Підстановка (4.53) до (4.52) дає:

або

(4.54)

Рівняння (4.54) описує центральні криві другого порядку. Вони мають також назву конічних пересічень, тому що можуть отримуватись як пересічення площиною прямого кругового конуса. Якщо сікуча площина не проходить через вершину конуса то пересічення буде гіперболою, параболою або еліпсом у залежності від того, чи паралельна сікуча площина двом, одній або зовсім не паралельна ні одній із утворюючих конуса. Якщо сікуча площина проходить через вершину конуса, то створюються розпадаючіся конічні січення.

Паралельні прямі отримують, якщо конус перероджується в циліндр (вершина конуса віддаляється на необмеженість).

У нашому випадку: якщо V(y_p)0 , що відповідає максимуму потенційної функції V(y_p)=max (горб), то через відповідну точку (x_p,y_p)=(x₁=0, y₁)=(x₃=0, y₃) проходять дві прямі (-2m(E-E_p) 0), що перетинаються. Вони являються частинами деяких граничних кривих, що поділяють фазову площину на дві частини: фазова площина з інфінітним рухом зображуючої точки, та фазова площина з фінітним рухом зображуючої точки. Ці граничні криві мають назву сепаратрис.

Сукупність інтегральних кривих поблизу точок у₁ та у₃ мають вид гіпербол. Тому точки з координатами (0,у₁) та (0,у₃) мають назву гіперболічних або сідел. Рух навколо сідла – інфінітний, а система у цьому районі нестійка.

Припустимо, що та –2m(E-E_p)<0. Тоді інтегральна крива буде еліпсом у точці з координатами (0,у₂). Ця точка називається еліптичною (Е>E_p). Поблизу цієї точки рух фінітний: зображуюча точка переміщується по еліпсу (рис.4.2) з певними параметрами. Якщо початкові точки знаходяться в зоні фінітного руху, то траєкторії, що виходять із таких точок, наближаються до еліпса і далі рухаються по цьому еліпсу. Рух по еліпсу має назву граничного циклу. При цьому в системі встановлюється автоколивальний режим. Відповідно до структури потенціалу V(y) маємо “захоплені” до потенційної ями фінітні траєкторії (min V(y_p)) (така точка має назву атрактора) і “пролітаючі” (незахоплені ) фінітні траєкторії /20,41/.

Таким чином, структура потенційної функції V(y) дозволяє визначати режими роботи досліджуємої системи (перехідний, чи усталений), оцінювати стійкість систем, визначати автоколивальні режими, та обраховувати їх параметри.