13.2 Визначення ачх електроприводів (сак) на цифровій моделі: використання

дискретного перетворення Фурьє.

Знаходження АФХ систем методом ідентифікації засновано на її визначенні через перехідну та імпульсну характеристики досліджуємої системи.

Згідно з визначенням перехідна характеристика системи

(8.40)

де 1(t) -ступенева функція (функція Хевісайда).

Через перехідну функцію можна знайти імпульсну (функцію ваги):

.

(8.41)

Використовуючи перетворення Фур'є, маємо

(8.42)

Математичну модель (8.42) необхідно привести до машино-орієнтованого алгоритма. Для цього використовують дискретне перетворення Фур'є.

Якщо відома математична модель досліджуємої системи, то згідно (8.40) та (8.41) знаходимо K(t) (рис.8.1): на інтервалі спостереження T_H виберемо N відліків цієі функції, які матимуть при цьому період квантування за часом

t=TH/N

(8.43)

Ця операція виконується спеціальним імпульсним модулятором, який показано на рис.8.2.

Відліки задаються формулою

,

(8.44)

де -періодична послідовність дельта-імпульсів. Підстановка (8.44) в (8.42) дає формулу дискретного перетворення Фур'є:

(8.45)

де сумування починається з i=0 тому, що K(t) 0 лише при t>0. Виконаємо також квантування по частоті, дискрету частоти зручно вибирати по формулі

(8.46)

Тоді (8.45) приймає вигляд:

Із рис.8.1 видно, що поза інтервалом спостереження T_H маємо наближення K(t)=0, тому верхню границю суми необхідно обмежити числом N відліків функції K(t). Тоді формула цифрового перетворення Фур'є (ЦПФ) приймає вигляд:

(8.47)

Рівняння (8.47) може бути записано у векторно-матричній формі, для цього введемо повертаючий співмножник

(8.48)

і формулу ЦПФ (8.47) переписуємо

або

W=KM,

(8.49)

де W=(w₀, w₁, ...,w_N-1)^T- вектор спектральних відліків (частотної характеристики);

K=(k₀,k₁,...,k_N-1)^T- вектор відліків функції у часовому просторі (імпульсних характеристик);

-матриця повертаючих співмножників. Елементи матриці відрізняються один від одного лише показником ступеня.

14.1 Рівняння стану Гамільтона. Фізичний еквівалент гамільтоніану

Якщо система консервативна, тобто відсутні зовнішні сили та сили в’язкого тертя, то (4.33) спрощується і приймає вигляд:

(4.34)

Уводиться функція Гамільтона (гамільтоніан):

(4.35)

Використовуючи гамільтоніан, в рівнянні (4.34) перейдемо від лагранжіану (потенційної функції) до координат у вигляді узагальненого вектора координат q(q_i, ) та узагальненого імпульсу p(p_i, ). З цією метою записуємо вираз для повного диференціалу:

(4.36)

Згідно з (4.34) можемо записати:

(4.37)

В (4.37) ураховано визначення узагальненого імпульсу (4.9). Тоді другий елемент у (4.36) має вигляд:

Для останнього елемента (4.36) маємо:

Перший та останній члени суми (4.36) подібні і мають різні знаки, тому вони у подальших викладках не ураховуються і для диференціалу маємо:

Звідки виникають два канонічних диференційних рівняння Гамільтона:

(4.38)

З рівнянь (4.38) видно, що:

(4.39)

(обидві складові однакові та мають різні знаки). Таким чином для консервативної системи функція Гамільтона не залежить від часу і є фіксованою. Тому любий гамільтоніан, який задовольняє канонічним рівнянням (4.38), є інваріантом руху системи. Визначимо фізичний зміст функції Гамільтона. Для цього розглянемо першу складову рівняння (4.35). Згідно з (4.8), (4.9) ця складова дорівнює:

(4.40)

де кінетична енергія системи (4.17):

(4.41)

тоді:

(4.42)

і підстановка (4.42) в (4.40) з урахуванням (4.41) дає:

(4.43)

Тепер виконаємо підстановку (4.48) та (4.7) в (4.35), що дає:

(4.44)

Таким чином гамільтоніан є загальною (сумарною) енергією консервативної системи, вона дорівнює сумі кінетичної та потенційної енергії.

З точки зору теорії оптимальних систем автоматичного керування важливим є поняття принципу Гамільтона. Згідно з рівнянням Лагранжа (4.34), функція Лагранжа задовольняє рівнянню Ейлера-Лагранжа, яке в свою чергу дає необхідні умови екстремуму фунціонала:

(4.45)

Тому функцію Гамільтона можна вважати цільовою екстремальною функцією консервативної системи. Принцип Гамільтона полягає у тому, що необхідні умови екстремуму мають вигляд:

(4.46)

Крім використання потенційних функцій (Лагранжа, Гамільтона, Ляпунова, Понрягіна та ін.) у якості екстремальних цільових функцій у задачах математичного програмування /16,18,28,29,30,38,40,41/, вони бувають корисними при дослідженні систем автоматичного керування, наприклад, за допомогою метода фазової площини /20/. Розглянемо це на прикладі.