1. Математична модель у вигляді структурної схеми багатомірної лінійної системи оптимального регулювання при детермінованому об”єкті керування.

2. Математичні моделі вхідних впливів у просторі стану Експоненційна функція

Експоненційна функція виражається формулою

r=r0 eat для t0.

(7.7)

Запишемо диференціальне рівняня

,

для якого початкові умови

x₁(0)=x₂(0)=r₀.

Схема математичної моделі (генератора) в змінних стану, яка опирається на рівняння (7.7) показана на рис.7.3.

Схема у змінних стану для цієї математичної моделі може бути отриманою також іншим шляхом.

Рівняння (7.8) трансформуємо по Лапласу, тоді отримуємо

.

(7.8)

Праву частину (7.8) представимо у вигляді двох співмножників

а потім помножимо ліву та праву частини рівняння на знаменник правої частини, тобто

Тоді у кінцевому вигляді маємо

(7.9)

що і дає схему в змінних стану рис. 7.3.

Білет 7

1. Математична модель у вигляді структурної схеми багатомірної лінійної системи оптимального регулювання при неповноій інформації про вектор стану ок.

2. Математична модель у просторі стану синусоїдального впливу.

Синусоїдальна функція є рішенням коливального рівняння

(7.10)

яке легко отримується із диференційного рівняння коливального ланцюга, якщо допустити =0 та =1/T, де T- постійна часу коливального ланцюга при нульовому вході. Характеристичне рівняння для (7.10) має два корені p_1,2=  j, які обумовлюють формування синусоїдальної функції.

Представимо (7.10) у змінних стану. Для цього можливі два варіанти рівнянь:

(7.11)

та

(7.12)

з початковими умовами x₁₀=x₁(0) та x₂₀=x₂(0).

Відповідно з рівнянням (7.11) схема моделі (генератора) синусоїдального вхідного сигналу у змінних стану показана на рис. 7.4. При цьому сигнал r задається формулою

r=x1(0)cos t+x2(0)sin t.

(7.13)

Білет 8

1. Перехідна та системна матриця (приклад коливального ланцюга).

Перехідною або фундаментальною матрицею об`єкта моделювання (системи) називають рішення однорідного матричного рівняння при початкових умовах , де І – одинична матриця.

Однорідне рівняння відповідає (2.12) при U(t)= . Знайдемо відповідне рішення, для чого використовуєм операторний метод. Якщо , то по формулі Меліна маємо:

, або .

Рішення в операторній формі записуємо

.

Виконаємо зворотнє перетворення по Лапласу, тоді

.

Якщо початкові умови відповідають одиничній матриці, то згідно з визначенням маємо

(3.1)

В скалярній формі це рішення має вигляд

(3.2)

Елементи перехідної матриці характеризують вільні коливання системи при її переході із початкового стану в деякий інший.

Приклад 3-1.Передавальна функція двигуна постійного струму дорівнює

,

де - механічна постійна часу; - коеффіцієнт перетворення двигуна по швидкості. Згідно з передавальною функцією рівняння двигуна має вигляд:

.

Якщо ввести позначення ; ; , то двигун має математичну модель у вигляді диференційного рівняння при . Необхідно визначити матрицю перехода системи.

Рішення. Припустимо, що вхідним сигналом є u(t)=1(t). Тоді рівняння двигуна доповнюється рівнянням моделі входу, тобто маємо

.

Виразимо по Лапласу систему рівнянь

,

на основі якої запишемо матрицю

.

Тоді зображення по Лапласу перехідної матриці дорівнює:

.

В оригіналі маємо:

.

Приклад 3-2.Розглядається двигун, що і в попередньому прикладі. Але припустимо, що вхідним сигналом є кут повороту вихідного валу. Тоді

,

що обумовлює рівняння

.

Вводимо позначення ; ; .

Тоді маємо і . Знайти перехідну матрицю цієї системи.

Рішення. Рівняння другого порядку записуємо у формі Коші:

;

;

.

Перейдемо до зображення по Лапласу при нульових початкових умовах. Тоді отримуємо

;

;

,

що дозволяє записати матрицю

.

Як і раніше

.

Тому маємо

.

Системна матриця може бути визначена наступним способом. У стаціонарному випадку, коли елементи матриці не залежать від часу і при , можемо записати (2.12) і (2.13):

;

;

або

;

.

Записуємо у формі одного рівняння, яке приймає вигляд:

.

Блочна матриця

називається системною матрицею, вона ураховує обидва рівняння (2.12) і (2.13). Якщо відома матриця , то загальне рішення рівняння (2.12), як відомо, має вигляд:

. (3.3)

Відображення на вихідний сигнал (при D=0) виконуємо згідно (2.13)

. (3.4)

Рівняння (3.3) і (3.4), як відмічалося у другому розділі, також можуть слугувати математичними моделями безперервних лінійних детермінованих систем.