2. Математична модель у просторі стану для ступеневого (функція включення) та лінійного впливів.

Ступенева функція (функція Хевісайда) записується як r=r₀U(t),

де

(7.4)

Введемо змінну стану x₁ рівнянням r=x₁ та запишемо диференційне рівняння

при початкових умовах x₁(0)=r₀.

Лінійна функція є окремим випадком поліноміальної функції і може бути записаною у вигляді

r=r₀+r₁t,

(7.5)

де t  0.

Вводимо позначення r=x₁, тоді диференційне рівняння стану знаходимо у вигляді

(7.6)

для якиx початкові умови дорівнюють

x₁(0)=r₀ і x₂(0)=r₂.

Схема математичної моделі в змінних стану системи відображена на рис. 7.2.

Заліковий білет № 5

1. Спостережуваність та керуємість об”єктів та систем на основі математичної моделі у просторі стану.

Одними из важнейших задач теории управления является исследование управляемости и наблюдаемости динамических систем. Приведем соответствующие определения и критерии для стационарных линейных систем, полученные Калманом.

Система называется вполне управляемой, если выбором управляющего воздействия u(t) на интервале времени [t₀, t₁] можно перевести систему из любого начального состояния х(t₀) в произвольное заранее заданное конечное состояние x(t₁).

Система называется вполне наблюдаемой, если по реакции у(t₁) на

выходе системы на интервале времени [t₀, t₁] при заданном управляю- щем воздействии u(t) можно определить начальное состояние х(t₀).

Критерий управляемости линейных систем. Для того чтобы система была вполне управляемой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы управляемости

M_U=(В | АВ | А²В| … | Аⁿ^–¹В)

равнялся размерности вектора состояния:

rank M_U= n.

Критерий наблюдаемости линейных систем. Для того чтобы система была вполне наблюдаемой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы наблюдаемости

M_Y=(C^T| A^TC^T| (A^T)²C | … | (A^T)ⁿ^–1C^T)

равнялся размерности вектора состояния:

rank M_Y= n.

Знак Z = (X | Y) означает присоединение матриц, т.е. для получения i-ой строки матрицы Z берется сначала i-ая строка матрицы X, затем следуют элементы i-ой строка матрицы Y. Предполагается, что количество строк у матриц одинаково.

Напомним, что под рангом матрицы подразумевается наивысший из порядков отличных от нуля миноров этой матрицы. Ранг матрицы равен наибольшему числу линейно независимых строк.