I. Доверительный интервал для математического ожидания нормальной при известной дисперсии

Пусть количественный признак генеральной совокупности имеет нормальное распределение с заданной дисперсией и неизвестным математическим ожиданием m (X ~ N (m, σ²)).

Построим доверительный интервал для .

1. Пусть для оценки извлечена выборка объема . Тогда

2. Составим СВ . Нетрудно показать, что СВ имеет стандартизированное нормальное распределение, т.е.

3. Зададим уровень значимости .

4. Применяя формулу нахождения вероятности отклонения нормальной величины от математического ожидания, имеем:

(29)

Это означает, что доверительный интервал накрывает неизвестный параметр c надежностью Точность оценки определяется величиной

Отметим, что по таблице Лапласа число определяется по таблице значений функции Лапласа из равенства .

II. Доверительный интервал для математического ожидания нормальной св при неизвестной дисперсии.

В реальной жизни истинное значение дисперсии исследуемой СВ, чаще всего, известно не будет. Это приводит к необходимости использования другой формулы при определении доверительного интервала для математического ожидания СВ, имеющей нормальное распределение.

Для этого из генеральной совокупности СВ извлекается выборка объема

1.В качестве точечной оценки математического ожидания используется выборочное среднее а в качестве оценки дисперсии исправленная выборочная дисперсия которой соответствует стандартное отклонение

2. Для нахождения доверительного интервала строится статистика имеющая в этом случае распределение Стьюдента с числом степеней свободы независимо от значений параметров и

3. Задается требуемый уровень значимости .

4. Применяется следующая формула расчета вероятности (30)

где - критическая точка распределения Стьюдента, которая находится по соответствующей таблице.

Тогда

(31)

Это означает, что интервал накрывает неизвестный параметр с надежностью

III. Доверительный интервал для дисперсии нормальной св.

Пусть Х ~ N (m, σ²) причем и - неизвестны. Пусть для оценки извлечена выборка объема

1. В качестве точечной оценки дисперсии используется исправленная выборочная дисперсия: которой соответствует стандартное отклонение

2. При нахождении доверительного интервала для дисперсии в этом случае вводится статистика имеющая - распределение с числом степеней свободы независимо от значения параметра

3. Задается требуемый уровень значимости .

4. Тогда, используя таблицу критических точек распределения, нетрудно указать критические точки для которых будет выполняться следующее равенство:

(32)

Неравенство (33)

может быть преобразовано в следующее:

(34)

Таким образом, доверительный интервал накрывает неизвестный параметр с надежностью А доверительный интервал с надежностью накрывает неизвестный параметр