Выборочное наблюдение.
Генеральной совокупностью называется множество всех возможных значений или реализаций исследуемой СВ Х при данном реальном комплексе условий.
Выборкой (выборочной совокупностью) называют часть генеральной совокупности, отобранную для изучения.
Число элементов рассматриваемой совокупности называется ее объемом.
Изучение всей генеральной совокупности во многих случаях либо невозможно, либо нецелесообразно в силу больших материальных затрат.
Задачей статистического описания выборки является получение такого ее представления, которое позволит наглядно выявить вероятностные характеристики. Для этого применяются различные формы упорядочения данных в выборке – по возрастанию, по совпадающим значениям, по интервалам и т.п.
При
анализе какого-то конкретного показателя
в
фиксированный момент времени (либо без
учета фактора времени) наблюдаемые
значения
обычно упорядочивают по неубыванию:
Разность между максимальными и минимальными значениями СВ называется размахом выборки.
Пусть
количество различных значений в выборке
равно
Значение
называется вариантами.
Если
значение
встретилось в выборке
раз, то число
называется частотой значения
,
а величина
относительной
частотой значения
.
Тогда наблюдаемые значения можно
сгруппировать в статистический ряд:
|
|
|
|
|
|
|
|
По
статистическому ряду можно построить
эмпирическую функцию распределения
(1)
где
число значений случайной величины
меньших, чем
объем
выборки.
По определению
обладает следующими свойствами:
1.
2. Для любых
3.
при
при
Эмпирическая
функция распределения
является оценкой функции распределения
которая в этом случае называется
теоретической функцией распределения.
Вычисление выборочных характеристик.
Для любой СВ Х кроме определения ее функции распределения желательно указать числовые характеристики, важнейшими из которых является:
математическое ожидание;
дисперсия;
среднее квадратическое отклонение.
Пусть объем генеральной совокупности
равен
.
Тогда математическим ожиданием СВ
является генеральное среднее:
(2)
Дисперсией СВ является генеральная дисперсия:
(3)
Корень квадратный из генеральной дисперсии называется генеральным средним квадратическим отклонением:
(4)
Таким образом, для нахождения генеральных числовых характеристики необходим анализ всей генеральной совокупности.
В силу того, что в реальности чаще всего работают с выборками, приходится находить оценки указанных выше генеральных характеристик – выборочные числовые характеристики:
- выборочное среднее;
- выборочную дисперсию;
- выборочное среднее квадратическое отклонение;
- выборочный коэффициент вариации.
Выборочное среднее – это среднее арифметическое наблюдаемых значений выборки.
(5)
При задании выборки в виде статистического ряда рассчитывается по следующей формуле:
(6)
Оценкой генеральной дисперсии является выборочная дисперсия:
(7)
(для дальнейшем
будем
обозначать через
Часто для вычисления
применяется следующая формула:
(8)
При задании выборки в виде статистического ряда имеем:
(9)
Корень квадратный из выборочной дисперсии называется выборочным средним квадратическим (стандартным) отклонением.
(10)
По аналогической схеме определяются статистические оценки других числовых характеристик СВ.
Выборочный коэффициент вариации
определяется отношением выборочного
среднего квадратического отклонения
к выборочной средней, выраженным в %:
(11)
Коэффициент вариации – безмерная величина, удобная для сравнения величин рассеивания двух выборок, имеющих различные размерности.
Как нами уже отмечалось ранее, наиболее употребляемыми характеристиками связи двух СВ является меры их линейной связи – ковариация и коэффициент корреляции. Их оценками являются:
- выборочная ковариация
- выборочный коэффициент корреляции
(12)
Здесь
(13)