Свойства выборочных оценок.

На начальном этапе в качестве оценки той или иной числовой характеристики (математического ожидания, дисперсии и т.п.) берется выборочная числовая характеристика. Затем, исследуя эту оценку, ее уточняют таким образом, чтобы она удовлетворяла описанным выше свойствам.

Доказано, что выборочное среднее является несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания M(X) генеральной совокупности.

Выборочная дисперсия является смещенной, но состоятельной оценкой дисперсии СВ Х генеральной совокупности, т.к. доказано, что

Иными словами, выборочная дисперсия оценивает генеральную дисперсию с недостатком.

Хотя при ∞ и оценка является асимптотически несмещенной, в качестве оценки дисперсии удобнее брать исправленную дисперсию:

(24)

Исправленная дисперсия является несмещенной и состоятельной оценкой дисперсии СВ .

Аналогично вводится исправленное среднее квадратическое отклонение или так называемый эмпирический стандарт

(25)

Отметим, что при >30 различие между и практически незначимо. Поэтому при большом объеме выборки и ту, и другую оценки можно считать несмещенными.

Относительная частота является несмещенной и состоятельной оценкой вероятности Аналогично эмпирическая функция распределения (накопленная относительная частота) является несмещенной и состоятельной оценкой (теоретической) функции распределения < .

Интервальные оценки

После получения точечной оценки , желательно иметь данные о надежности такой оценки. Особенно важно иметь сведения о точности оценок для небольших выборок (поскольку с возрастанием объема выборки несмещенность и состоятельность основных оценок гарантируется утверждениями математической статистики).

Точечная оценка может быть дополнена интервальной оценкой – интервалом , внутри которого с наперед заданной вероятностью находится точное значение оцениваемого параметра . Определение такого интервала называют интервальным оцениванием, а сам интервал – доверительным интервалом. При этом называют доверительной вероятностью – или надежностью, с которой оцениваемый параметр попадает в интервал .

Для определения доверительного интервала заранее выбирают число , называемое уровнем значимости, и находят два числа и , зависящих от точечной оценки , такие, что

(26)

В этом случае говорят, что интервал накрывает неизвестный параметр с вероятностью . Границы интервала и называются доверительными, и они обычно находятся из условия

Длина доверительного интервала, характеризующая точность интервальной оценки, зависит от объема выборки и надежности (уровня значимости ). При увеличении величины длина доверительного интервала уменьшается, а с приближением надежности к единице – увеличивается. Выбор (или ) определяется конкретными условиями. Обычно используется , что соответствует 90, 95, 99%-м доверительным интервалам.

Общая схема построения доверительного интервала:

1. Из генеральной совокупности с известным распределением извлекается выборка объема , по которой находится точечная оценка параметра .

2. Строится , связанная с параметром и имеющая известную плотность вероятности .

3. Задается уровень значимости .

4. Используя плотность вероятности , определяют два числа и такие, что (27)

5. Выбираются значения и из условий

.

Неравенство преобразуется в равносильное такое, что (28)

Полученный интервал , накрывающий неизвестный параметр с вероятностью , и является интервальной оценкой параметра .

Интервальная оценка также носит случайный характер, т.к. она напрямую связана с результатами выборки. Она позволяет сделать следующий вывод.

Если построен доверительный интервал, который с надежностью накрывает неизвестный параметр, и его границы рассчитываются по выборкам одинакового объема , то в случаях построенные интервалы накрывают истинное значение исследуемого параметра.

Поскольку в эконометрических задачах часто приходится находить доверительные интервалы параметров случайных величин, имеющих нормальное распределение, приведем схемы их определения.