Законы распределений случайных величин.
Большинство СВ подчиняется определенному закону распределения, зная который можно предвидеть вероятности попадания исследуемой СВ в определенные интервалы. Это очень важно при анализе экономических показателей, т.к. в этом случае появляется возможность осуществлять продуманную политику с учетом возможности возникновения той или иной ситуации.
Законов распределений достаточно много. К числу наиболее активно использующихся в эконометрическом анализе относятся:
нормальное распределение (распределение Гаусса);
распределение χ2;
распределение Стьюдента;
распределение Фишера.
Для удобства использования данных законов были разработаны таблицы критических точек, которые позволяют быстро и эффективно оценивать соответствующие вероятности.
Нормальное распределение
Нормальное распределение (распределение Гаусса) является предельным случаем почти всех реальных распределений вероятности. Поэтому оно используется в очень большом числе реальных приложений теории вероятностей.
СВ Х имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности имеет вид:
(14)
Это равносильно тому, что
(15)
СВ, имеющая нормальное распределение, называется нормально распределенной или нормальной. Графики плотности вероятности и функции распределения нормальной СВ изображены на рис.1 и 2.
0 m – σ m m + σ x
Рис.1. График плотности вероятности нормального распределения СВ Х.
0 m x
Рис.2. Функция распределения нормальной СВ.
Как видно из формул (1) и (2), нормальное распределение зависит от параметров m и σ и полностью определяется ими. При этом m = M (X), σ = σ (Х), т.е. D (X) = σ2, π = 3,14159…, e = 2,71828….
Если СВ Х имеет нормальное распределение с параметрами M (X) = m и σ (Х) = σ, то символически это можно записать так:
Х ~ N (m, σ) или Х ~ N (m, σ2).
Очень важным частным случаем нормального распределения является ситуация, когда m = 0 и σ = 1. В этом случае говорят о стандартизированном (стандартном) нормальном распределении.
Стандартизированную нормальную СВ обозначают через U (U ~ N (0,1)), учитывая при этом, что
;
(16)
Для практических расчетов специально разработаны таблицы функций f (u), F (u) стандартизированного нормального распределения, но чаще используется так называемая таблица значений Лапласа Ф (u). Функция Лапласа имеет вид:
(17)
Эту таблицу можно использовать для любой нормальной СВ Х ( Х ~ N (m, σ)) при расчете соответствующих вероятностей:
(18)
Заметим,
что если Х ~
N
(m,
σ), то
~ N(0,1).
Как видно из предыдущих рисунков, нормально распределенная СВ Х ведет себя достаточно предсказуемо. График ее плотности вероятности (рис.1) симметричен относительно прямой Х = m. Площадь фигуры под графиком плотности вероятности должна оставаться равной единице при любых значениях m и σ. Следовательно, чем меньше значение σ, тем более крутым является график.
Кроме того, справедливы следующие соотношения:
Р ( Х – M (Х) < σ) = 0,68; Р ( Х – M (Х) < 2σ) = 0,95;
Р ( Х – M (Х) < 3σ) = 0,9973.
Другими словами, значения нормально распределенной СВ Х ( Х ~ N (m, σ)) на 99,73 % сосредоточены в области [ m – 3σ, m + 3σ ].
Важным является тот факт, что линейная комбинация произвольного количества нормальных СВ имеет нормальное распределение. При этом, если Х ~ N (mх, σх) и Y ~ N (my, σy) – независимые СВ, то
Z = aX + bY ~ N (mz, σ), (19)
где mz = a mх + b my; σz 2 = a2 σx 2 + b2 σy 2.
Многие экономические показатели имеют нормальный или близкий к нормальному закон распределения. Например, доход населения, прибыль фирм в отрасли, объем потребления и т.д. имеют близкое к нормальному распределение.
Нормальное распределение используется при проверке различных гипотез в статистике (о величине математического ожидания при известной дисперсии, о равенстве математических ожиданий и т.д.).
Часто при моделировании экономических процессов приходится рассматривать СВ, которые представляют собой алгебраическую комбинацию нескольких СВ. Существенную роль в этом играет ряд специально разработанных теоретических законов распределений. К ним относятся χ2 – распределение, распределения Стьюдента и Фишера.