Зависимые и независимые события

События А, В называются независимыми, если вероятности каждого из них не зависит от того, произошло или нет другое событие. Вероятности независимых событий называются безусловными.

События А, В называются зависимыми, если вероятность каждого из них зависит от того, произошло или нет другое событие. Вероятность события В, вычисленная в предположении, что другое событие А уже осуществилось, называется условной вероятностью.

Если два события А и В – независимые, то справедливы равенства:

Р(В) = Р(В/А), Р(А) = Р(А/В) или Р(В/А) – Р(В) = 0 (9)

Вероятность произведения двух зависимых событий А, В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:

Р(АВ) = Р(В) ∙ Р(А/В) или Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В/А) (10)

Вероятность события В при условии появления события А:

(11)

Вероятность произведения двух независимых событий А, В равна произведению их вероятностей:

Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В) (12)

Если несколько событий попарно независимы, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности.

События А₁, А₂, …, А_n (n>2) называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошли или нет любые события из числа остальных.

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Р(А₁∙А₂∙А₃∙…∙А_n) = Р(А₁)∙Р(А₂)∙Р(А₃)∙…∙Р(А_n). (13)

Случайная величина.

Случайной величиной (СВ) называют величину, которая в результате наблюдения (испытания) принимает то или иное значение, заранее не известное и зависящее от случайных обстоятельств.

Различают:

• дискретные СВ;

• непрерывные СВ.

Дискретной называют такую СВ, которая принимает отдельные, изолированные (конечные или счетные) значения с определенными вероятностями.

Непрерывной называют такую СВ, которая может принимать любое значение из некоторого конечного или бесконечного числового промежутка (т.е. количество возможных значений непрерывной СВ бесконечно и несчетно).

Большинство СВ, рассматриваемых в экономике, имеет настолько большое число возможных значений, что их удобнее представлять в виде непрерывных СВ.

Дискретная случайная величина

Наиболее полным, исчерпывающим описанием дискретной СВ является ее закон распределения. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Его можно задать таблично, аналитически (т.е. в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной СВ первая строка таблицы содержит ее возможные значения а вторая – их вероятности

			…
			…

Обычно .

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Для любой дискретной случайной величины

(14)

Если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, по оси ординат – соответствующие им вероятности, то можно получить (соединением точек) ломаную, называемую многоугольником или полигоном распределения вероятностей.

Аналитически СВ задается либо функцией распределения, либо плотностью вероятностей.

Функцией распределения СВ Х называют функцию , определяющую вероятность того, что СВ Х принимает значение меньшее, чем , т.е. < (15) Эту функцию также называют функцией накопленной вероятности или кумулятивной функцией распределения.

Из определения вытекают свойства функции распределения:

1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей: (16)

2. неубывающая функция,т.е.

< (17)

3. На минус бесконечности функция распределния равна нулю, на плюс бесконечности – равна единице: (18)

4. Вероятность попадания случайной величины Х в интервал равна приращению ее функции распределения на этом интервале:

(19)

5. (20)

6. Если возможные значения СВ Х принадлежат отрезку , то

(21)