43. Распространение волн в упругой среде. Уравнение плоской и сферической волн. Скорость упругих волн в твердой средой среде. Эффект Доплера для звуковых волн.

Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной) среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание начнет распространяться в среде с некоторой скоростью v. Процесс распространения колебаний называется волной. Частицы среды, в которой распространяется волна, не переносятся волной, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебания частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Механические поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн. В продольных волнах вследствие совпадения направлений колебаний частиц и волны появляются сгущения и разрежения.

Распространение волн в упругой среде.

На рис.8.1 показано движение частиц при распространении в среде поперечной волны. Номерами 1,2,3 и т.д. обозначены частицы, отстоящие друг от друга на расстоянии, равном   , т.е. на расстоянии, проходимом волной за четверть периода колебаний, совершаемых частицами. В начальный момент времени (t = 0) все точки расположены на прямой и ни одна из них не выходит из положения равновесия. Приведем точку 1 в гармоническое колебание с периодом Т, направленное перпендикулярно линии 1-5. Гак как частицы среды связаны между собой силами упругости, они тоже приходят в колебания, но с некоторым запаздыванием. Через четверть периода   точка 1 отклонится от линии равновесия на максимальное смещение. Колебание начали все точки, лежащие слева от точки 2. По истечении времени  начнет подниматься вверх и точка 2. При   , первая точка вернется в положение равновесия, вторая точка достигнет максимального отклонения, и колебания дойдут до точки 3. При   точка 1 достигнет максимального отрицательного смещения, точка 2 вернется в положение равновесия и колебания достигнут точки 4. Наконец, за время, равное периоду t = Т, точка 1 вернется в положение равновесия, совершив полностью одно колебание. Колебания распространились до точки 5, все колеблющиеся точки образуют волну. При дальнейших колебаниях точек волновой процесс распространится вправо от точки 5. В рассмотренном случае образования поперечной волны каждая частица движется только вверх и вниз. У наблюдателя же создается впечатление, что «волна бежит», хотя в действительности происходит только передача движения от одной точки среды к другой.

В момент времени равный периоду (t = Т), точки 1 и 5, находящиеся в положении равновесия, имеют одинаковое смещение и одинаковое направление движения (вверх). Поэтому говорят, что точки I и 5 имеют одинаковые фазы. В отличие от этого точки 1 и 3, хотя смещения у них одинаковы, движутся в противоположные стороны, поэтому говорят, что точки 1 и 3 находятся в противоположных фазах. Расстояния между точками 1 и 5 определяет длину волны λ т.е. длиной волны λ называется, расстояние между ближайшими точками волны, колеблющимися в одинаковых фазах. Периодом волны Т называют время одного полного колебания ее точек. Величина, обратная периоду, называется частотой волны. Скорость волны определяется скоростью распространения колебаний от одной точки среды к другой:   Так как   то,

(8.1)

Скорость распространения волн тем меньше, чем инертнее среда, т.е. чем больше ее плотность. С другой стороны, она имеет большее значение в более упругой среде, чем в менее упругой. Скорость продольных волн определяется по формуле:  , а поперечной: 

где ρ- плотность среды, E - модуль Юнга, G - модуль сдвига. Так как для большинства твердых тел E>G то скорость продольных волн больше скорости поперечных.

   Уравнением волны  называется выражение, которое дает смещение колеблющейся точки как функцию ее координат (x, y, z) и времени t.

.

(5.2.1)

      Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и координат (волна – это распространяющееся колебание, следовательно периодически повторяющееся движение). Кроме того, точки, отстоящие друг от друга на расстоянии l, колеблются одинаковым образом.

Уравнение плоской волны

      Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.

      Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x. Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t:   . Пусть колебание точек, лежащих в плоскости   , имеет вид (при начальной фазе   )

(5.2.2)

      Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время   .

      Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t  от колебаний частиц в плоскости   , т.е.

,

(5.2.3)

      – это уравнение плоской волны.

      Таким образом, x  есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t. При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания   . Это будет, если энергия волны не поглощается средой.

      Такой же вид уравнение (5.2.3) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z.

      В общем виде уравнение плоской волны записывается так:

,  или   .

(5.2.4)

      Выражения (5.2.3) и (5.2.4) есть уравнения бегущей волны.

      Уравнение (5.2.3) описывает волну, распространяющуюся в сторону увеличения x. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид:

 .

      Уравнение волны можно записать и в другом виде.

      Введем волновое число   ,   или в векторной форме:

,

(5.2.5)

      где    – волновой вектор,    – нормаль к волновой поверхности.

      Так как   , то   . Отсюда   . Тогда уравнение плоской волны запишется так:

.

(5.2.6)

Уравнение сферической волны

      В случае, когда скорость волны υ во всех направлениях постоянна, а источник точечный, волна будет сферической.

      Предположим, что фаза колебаний источника равна wt (т.е.   ). Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут иметь фазу   . Амплитуда колебаний здесь, даже если волна не поглощается средой, не будет постоянной, она убывает по закону   . Следовательно, уравнение сферической волны:

, или  ,

(5.2.7)

      где А  равна амплитуде на расстоянии от источника равном единице.

      Уравнение (5.2.7) неприменимо для малых r, т.к. при   , амплитуда стремится к бесконечности. То, что амплитуда колебаний   , следует из рассмотрения энергии, переносимой волной.

Эффе́кт До́плера — изменение частоты и длины волн, регистрируемых приёмником, вызванное движением их источника и/или движением приёмника.

Математическое описание

Если источник волн движется относительно среды, то расстояние между гребнями волн (длина волны) зависит от скорости и направления движения. Если источник движется по направлению к приёмнику, то есть догоняет испускаемую им волну, то длина волны уменьшается, если удаляется — длина волны увеличивается:

,

где   — частота, с которой источник испускает волны,   — скорость распространения волн в среде,   — скорость источника волн относительно среды (положительная, если источник приближается к приёмнику и отрицательная, если удаляется).

Частота, регистрируемая неподвижным приёмником

.

(1)

Аналогично, если приёмник движется навстречу волнам, он регистрирует их гребни чаще и наоборот. Для неподвижного источника и движущегося приёмника

,

(2)

где   — скорость приёмника относительно среды (положительная, если он движется по направлению к источнику).

Подставив вместо   в формуле (2) значение частоты   из формулы (1), получим формулу для общего случая:

.