44. Энергия упругой волны. Поток энергии в упругой волне.

При распространении волны по цепочке происходит постоянная передача энергии от одной ячейки к другой. Для описания этого переноса удобно ввести специальную характеристику S – поток энергии, равны количеству энергии, передаваемой по цепочки в единицу времени. В нашей модели эта величина может быть рассчитана работа, совершаемая в единицу времени (то есть мощность) пружинкой ячейки номер (n − 1) над шариком n-ой ячейки, поэтому

 Sn−1=Pn−1=Fn−1υn=γ(un−1−un)υn . (20)

Выразим поток энергии через характеристики движения (n − 1)-ой ячейки, для чего используем формулы (11)-(12):

 Sn−1=γ(un−1−un)υn=γ(un−1−(un−1−lcυn−1))(υn−1−lcan−1)=γlcυn−1(υn−1−lcan−1) .

Все расчеты мы проводим в длинноволновом приближении, оставляя только малые величины первого порядка, поэтому в полученном выражении следует опустить последнее слагаемое пропорциональное квадрату времени распространения волны между соседними ячейками  (lc)2. В этом случае получаем формулу

 Sn−1=γlcυn−1(υn−1−lcan−1)=γlcυ2n−1=cγlc2υ2n−1=cmυ2n−1l=cwn−1 , (21)

которая разумна и понятна: поток энергии равен произведению плотности энергии на скорость распространения волны. Следует также подчеркнуть, что рассчитанный поток энергии является положительной величиной, то есть действительно энергия постоянно передается в одном направлении. Иными словами, энергия «привязана» к волне и распространяется вместе с ней. Такое же вывод справедлив и для среднего (во времени) потока энергии, который равен произведению средней плотности энергии на скорость волны

\(~ = c <w>\) . (22)</center>

Понятно, что средний поток энергии постоянен вдоль всей цепочки.

Наконец, рассчитаем разность потоков энергии, поступающей в выделенную ячейку и отдаваемую ей следующему соседу за малый промежуток времени

<center> (Sn−1−Sn)Δt=(cρυ2n−1−cρυ2n)Δt .</center>

Для преобразования в очередной раз используем выражение (12) и пренебрегаем слагаемыми второго порядка малости

<center> cρ((υn+lcan)2−υ2n)Δt=cρ(2υnlcan)Δt=2lρυn(anΔt) .</center>

Последний шаг преобразований мы выполняли не один раз  υn(anΔt)=υnΔυn=Δ(υ2n2). В итоге получаем

<center> (Sn−1−Sn)Δt=2lΔ(ρυ2n2)=ΔWn ,</center>

где Wn - полная энергия ячейки (сумма равных между собой кинетической и потенциальной энергий). В итоге получаем искомый результат

<center> (Sn−1−Sn)=ΔWnΔt (23)</center>

- разность потоков энергии поступающей и вытекающей из ячейки равна скорости изменения ее полной энергии. Очевидно и ожидаемо – закон сохранения энергия справедлив и в данном случае!

Полученные результаты могут быть обобщены на случай упругой волны, распространяющейся в трехмерном пространстве. Для такой волны можно ввести объемные плотности кинетической, потенциальной и полной энергии  w=ΔWΔV - отношение соответствующей энергии ΔW, заключенной в объеме ΔV к величине этого объема (с последующим переходом ΔV → 0).

Вместо потока энергии по линейной цепочки необходимо использовать понятие вектора плотности потока энергии  S⃗  : количество энергии, перетекающей в единицу времени через площадку единичной площади, ориентированную перпендикулярно направлению распространения волны (Рис. 356):

<center> S⃗ =ΔWΔtΔsn⃗  . (24)</center>

Для этих «точечных» энергетических характеристик справедливы следующие утверждения:

- средние объемные плотности кинетической и потенциальной энергии равны между собой и пропорциональны квадрату амплитуды волны;

- колебания плотностей кинетической и потенциальной энергии происходят в одной фазе;

- плотность потока энергии равна произведению объемной плотности энергии волны на скорость ее распространения;

- поток вектора плотности потока энергии[4] через любую замкнутую поверхность равен скорости изменения энергии внутри данной поверхности.

В дальнейшем мы убедимся, что аналогичные утверждения справедливы и для электромагнитных волн – то ли природе не хватает разнообразия, то ли нам, людям, воображения.