34.Условные законы распределения составляющих
Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение, называется условным законом распределения.
Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения так и плотностью распределения.
Условная плотность распределения вычисляется по формулам:
f(x/y)=
=
и анологично
для y
Условная плотность распределения обладает всеми свойствами плотности распределения одной случайной величины.
35.Функция случайных аргументов
Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента Х: Y = φ(X). Выясним, как найти закон распределения функции по известному закону распределения аргумента.
1) Пусть аргумент Х – дискретная случайная величина, причем различным значениям Х соот-ветствуют различные значения Y. Тогда вероятности соответствующих значений Х и Y равны.
2) Если разным значениям Х могут соответствовать одинаковые значения Y, то вероятности значений аргумента, при которых функция принимает одно и то же значение, складываются.
Если каждой паре возможных значений случайных величин Х и Y соответ-ствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y : Z = φ(X, Y).
Рассмотрим в качестве такой функции сумму Х + Y. В некоторых случаях можно найти ее закон распределения, зная законы распределения слагаемых.
1) Если X и Y – дискретные независимые случайные величины, то для определения закона распределения Z = Х + Y нужно найти все возможные значения Z и соответствующие им вероятности.
3) Если X и Y – непрерывные независимые случайные величины, то, если плотность вероятно-сти хотя бы одного из аргументов задана на (-∞, ∞) одной формулой, то плотность суммы g(z) можно найти по формулам .
36.Функция дискретного случайного аргумента и ее числовые характеристики
Во многих случаях необходимо рассматривать две случайные величины Х и Y, причем каждому значению случайной величины Х ставится в соответствие определенное значение случайной величины Y. В этом случае говорят, что Y является функцией от Х:
Примеры случайных
функций:
;
;
.
Возникает задача: зная закон распределения случайной величины Х, а в некоторых случаях только ее отдельные числовые характеристики, найти числовые характеристики случайной величины Y.
Если известен закон распределения случайной величины Х, то характеристики случайной величины определяются по формулам:
- для дискретной
случайной величины Х;
- для непрерывной
случайной величины.
- для дискретной
случайной величины;
- для непрерывной
случайной величины.
Аналогично определяются начальные и центральные моменты любых порядков случайной величины Y:
,
- для дискретной
случайной величины,
а для непрерывной
,
.
Итак, для нахождения числовых характеристик функции случайных величин вовсе не нужно знать ее закон распределения, а достаточно знать закон распределения аргумента.
Числовые
характеристики функции нескольких
случайных аргументов
,
если известна совместная плотность
распределения
системы аргументов определяются
аналогичными формулами. Например, для
непрерывной системы аргументов
математическое ожидание и дисперсия
функции равны:
,
.
Во многих задачах
финансово-экономической практики
числовые характеристики случайной
величины
могут быть определены как некоторые
функции числовых характеристик системы
случайных величин
.
В этом случае не требуется знать закон
распределения системы аргументов, а
достаточно знать лишь числовые
характеристики этой системы.
Приведем ряд теорем о числовых характеристиках функций случайных величин, которые могут быть использованы в практике (некоторые из них уже были приведены ранее).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Как видно из теоремы
9 дисперсия суммы случайных величин
равна сумме всех элементов корреляционной
матрицы
этих случайных величин.
Если случайные величины
некоррелированы, то
Теорема сложения дисперсий справедлива и для случая, когда случайные величины независимы, так как из независимости случайных величин следует их некоррелированность.
.
.
Эту теорему часто используют для вычисления корреляционного момента:
.
Если случайные величины некоррелированы, то
.
Последняя теорема обобщается и на произвольное число независимых сомножителей:
.
Дисперсия произведения независимых случайных величин выражается формулой
.
И, наконец, приведем основные теоремы для корреляционного момента:
.
.При сложении некоррелированных случайных векторов их корреляционные моменты складываются, т.е. если
,
,
,
то
.Для любых случайных величин Х и У
.