29. Закон распределения вероятностей многомерных с.В.

Свойства многомерной функции распределения:

1 . F( x1, x2, ... -∞ ... xk ) = 0;

2 . F( x1, x2, ... xk-1, ∞) = F( x1, x2, ... xk-1 ), т.е. если один из аргументов принимает значение ∞, то размерность случайной величины уменьшается на 1;

3 . F( x1, x2, ... xk ) не убывающая функция любого аргумента.

Многомерные случайные величины могут быть непрерывными, т.е. принимать любые значения в некоторой области к-мерного пространства (например, упомянутые выше компоненты скорости молекулы). У них F( x1, x2, ... xk ) непрерывная функция всех аргументов. Для них определена к-мерная плотность распределения p( x1, x2, ... xk ), которая есть производная от функци распределения.

Многомерные случайные величины могут быть дискретными, т.е. каждая компонента случайного вектора может принимать только конечное или счетное множество определенных значений. Для дискретных случайных величин закон распределения задается вероятностями всевозможных комбинаций их значений. Для двумерной величины при небольшом числе возможных значений это удобно представить в виде таблицы, где на пересечении столбца z1 и строки z2 стоит вероятность р( z1, z2 )

30.Числовые характеристики системы двух дтскретных случайных величин

31.Корреляционный момент. Коэффициент корреляции

Случайная величина описывается двумя числовыми характеристиками: математическим ожиданием и дисперсией. Чтобы описать систему из двух случайных величин кроме «основных» характеристик используют так же корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционным моментом µxy случайных величин X и У называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин: µxy = M { [ X - M(X) ] [ Y - M(Y) ] }

Для нахождения корреляционного момента дискретных величин используют формулу:

а для непрерывных величин — формулу :

Корреляционный момент характеризует наличие (отсутствие) связи между величинами X и У. Ниже будет доказано, что корреляционный момент равен нулю, если X и У независимы; Если же корреляционный момент для случайных величин X и Y не равен нулю, то между ними имеется завимость.

Теорема 1. Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y равен нулю. Коэффициентом корреляции гху случайных величин X и У называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих

величин: rxy= µxy/σxσy

Теорема 2. Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин X и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий:

Теорема 3. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы:

32.Функцич распределения вероятностей

Функция распределения случайной величины, она же интегральная функция распределения вероятностей - это функция, определяющая для каждого значения x вероятность того, что случайная величина (ξ) примет значение меньшее, чем x: F(x) = P(ξ < x). Численно функция распределения равна площади фигуры, ограниченной сверху графиком плотности вероятности, снизу осью ОХ, с боков - рассматриваемым интервалом.

Основные свойства:

1) Значения функции распределения лежат в интервале [0; 1], т.е. 0 ≤ F(X) ≤ 1

2) Это функция неубывающая, при x→-∞ F(X)→0, при x→+∞ F(X)→1

3) Вероятность попадания в интервал (a, b) определяется формулой F(b) - F(a)

Взаимосвязь интегральной и дифференциальной функций распределения вероятностей: