Формулировка

Формула Байеса: , где — априорная вероятность гипотезы A (смысл такой терминологии см. ниже); — вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность); — вероятность наступления события B при истинности гипотезы A; — полная вероятность наступления события B.

Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.

События, отражающие действие «причин», в данном случае обычно называют гипотезами, так как они — предполагаемые события, повлекшие данное. Безусловную вероятность справедливости гипотезы называют априорной (насколько вероятна причина вообще), а условную — с учетом факта произошедшего события — апостериорной (насколько вероятна причина оказалась с учетом данных о событии).

Следствие

Формула Байеса является важным следствием из формулы полной вероятности события, зависящего от нескольких несовместных гипотез (и только от них!).

 — вероятность наступления события B, зависящего от ряда гипотез , если известны степени достоверности этих гипотез (например, измерены экспериментально);

15. Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу.

Формулировка

Теорема: Если Вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: , где .

Доказательство

Так как в результате независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие наступает с вероятностью , следовательно, противоположное ему событие с вероятностью .

Обозначим  — наступление события в испытании с номером . Так как условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны. Пусть в результате опытов событие наступает раз, тогда остальные раз это событие не наступает. Событие может появиться раз в испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из элементов по . Это количество сочетаний находится по формуле:

.

При этом вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей:

.

Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим окончательную Формулу Бернулли:

, где .

16. Наивероятнейшее число появления события а в n независимых испытаниях

Пусть производится n независимых испытаний.

,

где р – вероятность появления события А при одном испытании, q – вероятность не появления события А при одном испытании.

Число k при котором данная вероятность окажется большей будет называться наивероятнейшим числом появления события А.

Если: 1) (n*p-q) – дробное число, существует одно наивероятнейшее число ; 2) (n*p-q) – целое число, то существуют два наивероятнейших числа и ; 3) n*p – целое, то наивероятнейшее число .

17. Локальная Пусть событие А может произойти в любом из n повторных независимых испытаний с постоянной вероятностью р отличной от 0 и 1. пусть событие А не редкое, а количество испытаний достаточно велико, т.е. выполняются условия Муавра-Лапласа

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пусть событие А может произойти в любом из M повторных независимых испытаниях с постоянной вероятностью р отличной от 0 и 1. Пусть количество испытаний велико, а события не редкие, т.е выполняются условия Муавра-Лапласа. Тогда вероятность того, что количество успехов заключено в некотором интеграле определяется интегральной функцией Муавра-Лапласа.

18. При большом количестве испытаний n формула Бернулли не удобна для вычислений, поэтому применяется приближенные формулы, результаты которых тем точнее, чем больше n.  Формула Пуассона (для редких событий). Пусто событие А может произойти в любом из n повторных независимых испытаний с постоянной вероятностью р, отличной от 0 и 1. Пусть количество испытаний n достаточно велико, а вероятность р мала, т.е. выполняются условия Пуассона: Замечания: 1. Функция, стоящая в правой части формулы 2 называется функцией Пуассона. Она затабулирована в учебнике на стр. 556. значение этой функции определяется по двум параметрам λ и m. 2. Формула 2 является приближенной, а формула 1 точной.