48.Интервальные оценки. Доверительный интервал. Надежность. Доверительный интервал оценки параметров нормального распределения.

Интервальный метод оценивания параметров распределения случайных величин заключается в определении интервала (а не единичного значения), в котором с заданной степенью достоверности будет заключено значение оцениваемого параметра. Интервальная оценка характеризуется двумя числами – концами интервала, внутри которого предположительно находится истинное значение параметра. Иначе говоря, вместо отдельной точки для оцениваемого параметра можно установить интервал значений, одна из точек которого является своего рода "лучшей" оценкой. Интервальные оценки являются более полными и надежными по сравнению с точечными, они применяются как для больших, так и для малых выборок.

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика Q* служит оценкой неизвестного параметра Q. Будем считать Q постоянным числом (Q может быть и случайной величиной). Ясно, что Q* тем точнее определяет параметр Q, чем меньше абсолютная величина разности |Q- Q*|. Другими словами, если d>0 и |Q- Q*| <d , то чем меньше d , тем оценка точнее.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки называют вероятность g , с которой осуществляется неравенство |Q—Q* | <d .

Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве g берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Пусть вероятность того, что, |Q- Q*| <d равна g:

P(|Q- Q*| <d)= g.

Заменив неравенство равносильным ему двойным неравенством получим:

Р [Q* —d< Q < Q* +d] = g

Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал Q* - d< Q < Q* +d заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр Q, равна g

Интервал (Q* - d Q* +d) называется доверительным интервалом , который покрывает неизвестный параметр с надежностью g.

49. Элементы корреляционного анализа. Линейная корреляция. Уравнения прямых линий регрессии. Коэффициент корреляции. Оценка коэффициента корреляции по выборочным данным.

Корреляцией называют зависимость между двумя переменными величинами.

Переменная - это любая величина, которая может быть измерена и чье количественное выражение может варьировать.

Предположим, что в некотором опыте наблюдаются сразу две случайные величины Х и Y. То обстоятельство, что Х и Y обязаны своим появлением одному и тому же опыту, создает между ними некоторую связь. В отдельных случаях эта связь является настолько тесной, что, зная, какое значение приняла величина Х, можно однозначно предсказать значение Y; т. е. связь между величинами Х и Y – функциональная. Возможен, однако, и другой крайний случай, когда зависимость между Х и Y отсутствует вовсе, т. е. величины Х и Y независимы.

В общем случае связь между величинами Х и Y находит свое выражение в том, что при фиксированном значении х величины Х величина Y остается случайной, но с законом распределения, зависящим от Х. иначе говоря, каждому значению Х = х отвечает свой закон распределения величины Y.

Коэффициент корреляции - это величина, которая может варьировать в пределах от +1 до -1. В случае полной положительной корреляции этот коэффициент равен +1, а при полной отрицательной -1. В случаи, если коэффициент корреляции равен 0, обе переменные полностью независимы друг от друга. Коэффициентом корреляции называется величина

т. е. отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений величин Х и Y.

Очевидно, коэффициент корреляции не зависит от выбора единиц измерения для величин Х и Y, т. е. r[X,Y] есть величина безразмерная. Он не зависит также и от выбора начал отсчета при измерении Х и Y.

Выборочная ковариация величин и определяется формулой