37.Неравенство Чебушева

Нера́венство Чебышёва в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения близкие к своему среднему. Более точно, оно даёт оценку вероятности, что случайная величина примет значение далёкое от своего среднего. Неравенство Чебышёва является следствием неравенства Маркова.

Пусть случайная величина определена на вероятностном пространстве , и её математическое ожидание и дисперсия конечны. Тогда где

Если , где — стандартное отклонение и , то получаем В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на 2 стандартных отклонения с вероятностью меньше 25%. Она отклоняется от среднего на 3 стандартных отклонения с вероятностью меньше 11%.

39. Теорема Бернулли

Бернулли теорема, одна из важнейших теорем теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях.

Пусть производится h независимых опытов, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Частота появления события в этих h опытах  является случайной величиной с математическим ожиданием  и дисперсией .

Теорема Бернулли. При увеличении числа независимых опытов – частота события сходится по вероятности к вероятности этого события, т.е. для любого >0

Доказательство. Запишем неравенство Чебышева , где  для случайной величины .

Так как p, q,  - постоянные, то , при . Поэтому

Но вероятность не может превосходить единицу, значит в этом соотношении неравенство следует заменить знаком равенства, что и приводит к утверждению теоремы.

Теорема Бернулли даёт обоснование статистическому определению вероятности.

( в тетрадке ест пример !!!)

40 Центральная предельная теорема теории вероятностей . Теорема Ляпунова

Общее название ряда предельных теорем теории вероятностей, указывающих условия, при выполнении к-рых суммы или другие функции от большого числа независимых или слабо зависимых случайных величин имеют распределения вероятностей, близкие к нормальному распределению. ервый вариант этой теоремы был доказан в 1912 г. А.М.Ляпуновым.

Пусть последовательность одинаково распре­делённых случайных величин с математическими ожиданиями и дисперсиями

ТЕОРЕМА. Если случайные величины  независимы и , то при достаточно большом n закон распределения суммы  будет сколь угодно близок к нормальному закону распределения .

Так как в условиях теоремы случайные величины независимы, то

т.е. в условиях теоремы сумма  имеет закон распределения близкий к .Так' как  na и  с ростом п, возрастают, то удобнее рассматривать не просто суммы , а нормированные суммы . Такие суммы при  имеют закон распределения .

41. Классификация точечных оценок

Точечной оценкой характеристики θ называют некоторую функцию  результатов наблюдений, значения которой близки к неизвестной характеристике θ генеральной совокупности.

Для построения оценки нужны критерии, по которым судят о её качестве. Сформулируем некоторые свойства, позволяющие разумным образом выбирать оценки.

1. Оценка  называется несмещенной, если её математическое ожидание равно оцениваемой характеристике случайной величины: ,     т. е. если она не дает систематической ошибки.

2. Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа наблюдений оценка сходится по вероятности к искомой величине, т. е. для любого сколь угодно малого   Если известно, что оценка несмещенная, то для проверки состоятельности её удобно пользоваться условием: . Если последнее условие выполнено, то из неравенства Чебышева следует, что оценка состоятельная. .

42. Генеральная совокупность и выборка. Интервальные и безинтервальные вариационные ряды. Графическое изображение вариационных рядов: полигон, гистограмма, кумулята, огива, эмпирическая функция распределения.

Основу статистического исследования составляет множество данных, полученных в результате измерения одного или нескольких признаков. Реально наблюдаемая совокупность объектов, статистически представленная рядом наблюдений случайной величины , является выборкой, а гипотетически существующая (домысливаемая) — генеральной совокупностью. енеральная совокупность состоит из всех объектов, которые подлежат изучению. Состав генеральной совокупности зависит от целей исследования.. Генеральная совокупность может быть конечной (число наблюдений N = const) или бесконечной (N = ∞), а выборка из генеральной совокупности — это всегда результат ограниченного ряда наблюдений.

Первый шаг на пути статистической обработки данных заключается в группировке полученных результатов и их представлении в виде сводных таблиц. При распределении членов совокупности в ряд преследуются определенные цели. Известно два вида вариационных рядов: безинтервальные и интервальные. Но, когда совокупность достаточно большая или состоит из непрерывных значений, безинтервальный вариационный ряд плохо отражает закономерности варьирования признаков. В таких случаях целесообразнее построить интервальный вариационный ряд. Техника построения такого ряда заключается в следующем. Вся вариация признака от минимального до максимального разбивается на равные интервалы или промежутки, называемые также классами. Затем все варианты совокупности распределяются по этим классам. В результате получается интервальный вариационный ряд, в котором частоты (p) относятся уже не к отдельным конкретным вариантам, как в безинтервальном вариационным ряду, а к установленным классовым интервалам, т.е. оказываются частотами не вариант, а классов.

Графическое изображение зависимости между величинами дает возможность представить эту зависимость наглядно. Графики могут служить основой для открытия новых свойств, соотношений и закономерностей.

     Наиболее употребительными графиками для изображения вариационных рядов, т. е. соотношений между значениями признака и соответствующими частотами или относительными частотами, являются полигон, гистограмма и кумулята.

Полигон чаще всего используют для изображения дискретных рядов. Для построения полигона в прямоугольной системе координат на оси абсцисс в произвольно выбранном масштабе откладывают значения аргумента, т. е. варианты, а на оси ординат также в произвольно выбранном масштабе - значения частот или относительных частот. Масштаб выбирают такой, чтобы была обеспечена необходимая наглядность, и чтобы рисунок имел желательный размер. Далее в этой системе координат строят точки, координатами которых являются пары соответствующих чисел из вариационного ряда. Полученные точки последовательно соединяют отрезками прямой.

Кумулята служит для графического изображения кумулятивного вариационного ряда. Для ее построения на оси абсцисс откладывают значения аргумента, а на оси ординат - накопленные частоты или накопленные относительные частоты. Масштаб на каждой оси выбирают произвольно. Далее строят точки, абсциссы которых равны вариантам (в случае дискретных рядов) или верхним границам интервалов (в случае интервальных рядов), а ординаты - соответствующим частотам (накопленным частотам). Эти точки соединяют отрезками прямой. Полученная ломаная и является кумулятой.

 Гистограмму используют для изображения интервальных рядов. Для построения гистограммы по данным вариационного ряда с равными интервалами, как и для построения полигона, на оси абсцисс откладывают значения аргумента, а на оси ординат - значения частот или относительных частот. Далее строят прямоугольники, основаниями которых служат отрезки оси абсцисс, длины которых равны длинам интервалов, а высотами - отрезки, длины которых пропорциональны частотам или относительным частотам соответствующих интервалов.

Огива Строится аналогично кумуляте с той лишь разницей, что на ось абсцисс наносят накопленные частоты, а на ось ординат - значения параметра. Если лист бумаги, на котором изображена кумулята, повернуть на 90 и посмотреть на него с обратной стороны на свет, то можно увидеть огиву.

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Обозначим через число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее x и через n – общее число наблюдений. Очевидно, относительная частота события X<x равна и является функцией x. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения x относительную частоту события X<x. Таким образом, по определению , где – число вариант, меньших x, n – объем выборки.