19. Дискретные и непрерывные случайные величины

Вернемся к примерам, приведенным выше. В первом из них случайная величина Х могла принять одно из следующих возможных значений: О, 1, 2, ..., 100. Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений X. Таким образом, в этом примере случайная величина принимает отдельные, изолированные возможные значения. Во втором и третьем примерах случайные величины могли принять любые из значений промежутков (а,b) и (c, d) . Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины.

Уже из сказанного можно заключить о целесообразности различать случайные величины, принимающие лишь отдельные, изолированные значения, и случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. Дадим более точное определение :

 Дискретной случайной величиной (ДСВ) называют такую величину, множество значений которой либо конечное, либо бесконечное, но счетное.

Непрерывной случайной величиной (НСВ) называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Множество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно и несчетно.

20. Законы распределения случайных величин

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее, какое именно.

 Дискретной (прерывной) случайной величиной называется случайная величина, принимающая отдельные друг от друга значения, которые можно перенумеровать.

Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют какой-то промежуток.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения может иметь разные формы.

Рядом распределения дискретной случайной величины Х называется таблица, где перечислены возможные (различные) значения этой случайной величины х₁, х₂, ..., х_n с соответствующими им вероятностями р₁, р₂, ..., р_n:

хi	x1	x2	...	xn
pi	p1	p2		pn

21. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: , где – возможные значения случайной величины , а – соответствующие вероятности. Замечание. Вышеприведенная формула справедлива для дискретной случайной величины, число возможных значений которой конечно. Если же случайная величина имеет счетное число возможных значений, то для нахождения математического ожидания используют формулу: , причем это математическое ожидание существует при выполнении соответствующего условия сходимости числового ряда в правой части равенства. Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: . 2. Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания: . 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: . Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: . Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна . Тогда справедлива следующая теорема. Теорема. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления этого события в каждом испытании: .

Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением. Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

22. Дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величиной от ее математического ожидания: . Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания: .