Линейная корреляция
Часто приходится рассматривать такие системы (Х, Y), для которых обе линии регрессии представляют собой прямые. Тогда говорят о линейной корреляции между Х и Y. В этом случае уравнения прямых регрессии имеют следующий вид:
,
(1.36)
.
(1.37)
Уравнение (1.36) определяет уравнение прямой регрессии Y на Х, а уравнение (1.37) – прямой регрессии X на Y.
Здесь r = r[X,Y] – коэффициент корреляции между Х и Y.
При r = ±1 обе прямые сливаются в одну – ту самую прямую у = ах + b, на которой лежат все точки (Х,Y).
Предположим, что между случайными величинами Х и Y имеет место линейная корреляция. Возникает задача о приближенном построении прямых регрессий по данным наблюдений над системой (Х, Y).
Подход к решению этой задачи указывают сами формулы (1.36) и (1.37). Если входящие в них параметры mX, mY, σX, σY, r
заменить их эмпирическими оценками, то получим
,
и две прямые
;
(1.36*)
,
(1.37*)
которые естественно рассматривать как эмпирические прямые регрессии.
50. Определение параметров уравнения регрессии методом наименьших квадратов. Формула для вычисления коэффициента корреляции.
Рассмотрим общий случай, когда вероятностная зависимость близка к некоторой функциональной зависимости (не обязательно линейной). В этом случае тоже возникает задача о сглаживании её методом наименьших квадратов.
Допустим, что тип отыскиваемой функциональной зависимости между Х и Y предписан заранее из каких-либо соображении
,
(1.38)
де φ – данная функция, в выражение которой входят n неизвестныx параметров: a, b, … . Требуется подобрать значения этих параметров так, чтобы кривая (1.38) наименее уклонялась от экспериментальных точек.
Задача приближённого представления эмпирической функции другими известными функциями получила название аппроксимации функции.
Решение этой задачи методом наименьших квадратов заключается в отыскании таких значений параметров, для которых выражение
(1.39)
принимает наименьшее значение.
Данный коэффициент вычисляется по следующей формуле:
где xi и уi значения двух переменных, х- и у- их средние значения, a sx и sy их стандартные отклонения; n количество пар значений.