5.2.4. Классификация картографических проекций

В ряде случаев при составлении мелкомасштабных карт можно пренебречь величиной сжатия эллипсоида и заме­нить его шаром, поверхность которого равна поверхности эл­липсоида или объем которого равен объему эллипсоида. Для крупномасштабных карт такая замена недопустима, посколь­ку возникающие при этом ошибки могут превысить допусти­мый предел.

Для упрощения расчетов картографических проекций по­верхность эллипсоида сначала проецируется на шар, а затем поверхность шара изображается в той или иной проекции.

Изображение шара на плоскости может быть весьма разно­образным, и картографических проекций может быть получе­но очень много, особенно с использованием компьютерных технологий.

В основу классификации картографических проекций по­ложены два аспекта:

• характер искажений;

• вид картографической сетки.

Классификация картографических проекций по характе­ру искажений.

Как отмечалось выше, искажения длин, углов и площадей проявляются не в одинаковой мере на картах, построенных в разных картографических проекциях. При разработке конк­ретной проекции имеется возможность получать карты с раз­личными соотношениями видов искажений. Можно умень­шить искажения в длинах линий, уменьшить или полностью исключить искажения углов или площадей. Однако нужно иметь в виду, что искажения тесно связаны между собой. При уменьшении искажений площадей увеличиваются искажения углов, и наоборот, при уменьшении искажения углов возрас­тают искажения площадей.

• По характеру искажений картографические проекции делятся на равноугольные, равновеликие и произвольные.

1. При разработке равноугольных проекций ставится условие сохранения подобия бесконечно малых фигур. Достигается это равенством в каждой точке углов между направлениями на шаре и карте. Искажение углов = 0° = const. При этом масштаб длин в любой точке остается одинаковым по всем направлениям, но меняется от точки к точке: т₁ = п₁ и т₂ = n₂, но т₁ т₂ и п₁ п₂.

При равенстве масштабов длин и отсутствии искажения уг­лов масштаб площади в точке равен р = т  п  cos = 1 = т². Эллипс искажений в равноугольной проекции — окружность.

Формы бесконечно малых фигур не искажаются — беско­нечно малый круг на земной поверхности отобразится кругом на карте. Для точек, отстоящих друг от друга на конечном расстоянии, масштабы изменяются, и это обусловливает иска­жение конечных контуров. Однако искажения эти менее су­щественны, нежели искажения площадей.

2. Равновеликие проекции не искажают площади картографируемой территории. Масштаб площади везде постоянен и равен главному масштабу: р = 1 = const. Следует отметить, что в данных проекциях постоянство отношения площадей на шаре и карте распространяется как на бесконечно малые части поверхности, так и на конечные.

При сохранении размеров территории равновеликие про­екции за счет искажения углов сильно изменяют конфигурацию территории. В общем случае любой круг на поверхности Земли на карте изобразится эллипсом. Эллипсы искажений в них имеют одинаковую площадь при разной форме.

3. Произвольные проекции не сохраняют ни равенство углов, ни пропорциональность площадей. Круги, взятые на шаре, в этой проекции в разных местах карты будут эллипса­ми разной формы и разных размеров. Углы, длины и площади искажаются в зависимости от принятых условий. По величи­нам искажений произвольные проекции находятся между рав­ноугольными и равновеликими.

Из группы произвольных выделяют так называемые равнопромежуточные проекции, в которых масштаб длин по одному из главных направлений постоянен и, в частности,

Рис. 45. Схема распределения искажений в картографических проекциях

равен единице, но изменяется по другим направлениям, т. е. т = 1 или n = 1 (рис. 45).

В зависимости от типа картографической проекции по ха­рактеру искажений картографические сетки проекций имеют разный вид. На рис. 46 представлены картографические сетки и эллипсы искажений для нормальных цилиндрических проекций с разным характером искажений.

В равнопромежуточной проекции (рис. 6.8, б) расстояния между параллелями везде одинаковы. На эллипсоиде длина дуги меридиана в 1° изменяется от 110,6 км на экваторе до 111,7 км у полюса. Для карты такого мелкого масштаба эти изменения несущественны, поэтому можно сказать, что прак­тически масштаб по меридианам сохраняется на всей карте (m = 1). Расстояния между меридианами тоже одинаковы и на экваторе, и на полюсе (здесь полюс — линия), параллели в 1° уменьшается oт 111,3 км до 0 км, т. е. масштабы по параллелям возрастают от экватора к полюсу. Непостоянство масштабов отражается на форме эллипсов искажений: на экваторе, который в этой проекции является

Рис. 46. Картографические сетки и эллипсы искажений в цилиндрических про­екциях: а — равновеликой; б — равнопромежуточной; в — равноугольной

линией нулевых искажений, эллипс искажений - окружность, а к полюсам изменяются его форма и площадь.

В равновеликой проекции на рис. 46, а расстояния между меридианами постоянны, а по параллелям уменьшаются к полюсам. Эллипс искажений меняет форму, но сохраняет площадь.

В равноугольной проекции на рис. 46, в при равенстве промежутков между меридианами резко возрастают расстояния между параллелями к полюсам. Эллипс искажений везде — круг, но площадь его существенно больше у полюсов. Ha линии нулевых искажений площадь эллипса одинакова с пло­щадями его в предыдущих проекциях.

На рис. 46 можно заметить также, как изменяется конфигурация территорий в разных проекциях при удалении от экватора, где она ближе всего к действительности.

Классификация картографических проекций по виду сетки меридианов и параллелей.

В зависимости от способа перехода от сферической поверх­ности шара к плоскости получают картографическую сетку различного вида.

Чтобы уменьшить величины искажений, изображение зем­ной поверхности не переносят непосредственно на плоскость, а выбирают некую вспомогательную геометрическую поверх­ность, на которую и проецируют сферу. После проектирования на цилиндр или конус поверхность их разрезается по образую­щей и разворачивается в плоскость. Применяется также про­ектирование на плоскость.

В зависимости от вида вспомогательной поверхности про­екции называются цилиндрическими, коническими и азиму­тальными. Вспомогательная поверхность может касаться поверхности шара или пересекать ее.

Линия или точка соприкосновения вспомогательной поверхности с шаром является линией или точкой нулевых искажений, на которой сохраняется главный масштаб.

При проектировании вспомогательная поверхность может размещаться по-разному по отношению к оси вращения Земли или плоскости экватора.

В нормальных проекциях ось цилиндра или конуса совпа­дает с осью вращения Земли, а плоскость в азимутальной про­екции ей перпендикулярна.

Поперечные проекции предполагают размещение оси ци­линдра или конуса в плоскости экватора (поперек оси враще­ния Земли); в азимутальной проекции вспомогательная плос­кость перпендикулярна плоскости экватора.

В косых проекциях вспомогательная поверхность разме­щается под некоторым углом к оси вращения Земли и эквато­ру. В азимутальных проекциях она перпендикулярна отвес­ной линии в точке касания. В конических и цилиндрических проекциях ее ось совпадает с нормалью, расположенной меж­ду полярной осью и плоскостью экватора.

Цилиндрические проекции. Вспомогательной поверхно­стью служит боковая поверхность цилиндра, касательного или секущего шар.

В нормальных цилиндрических проекциях (рис. 6.9) ме­ридианы образованы пересечением меридианной плоскости с поверхностью цилиндра (для цилиндра — это образующая прямая линия). Параллели образованы пересечением цилинд­ра плоскостями, параллельными экватору; при разворачива­нии цилиндра они также превращаются в прямые линии. Па­раллели и меридианы на карте взаимно перпендикулярны.

Рис. 47. Проектирование поверхности шара на поверхность цилиндра и построенная сетка в нормальной цилиндрической проекции

Для нормальных цилиндрических проекций линия нуле­вых искажений — линия экватора. При секущем положении цилиндра (рис. 49) имеем две линии нулевых искажений — линии сечения.

В поперечных цилиндрических проекциях прямыми будут экватор и меридиан, по которому цилиндр касается Земли. Остальные меридианы и параллели — кривые линии (рис. 48, а).

В поперечных проекциях линия нулевых искажений совпадает с линией касания цилиндра — одним из меридианов (чаще центральным для территории картографирования).

В косых цилиндрических проекциях прямым остается лишь меридиан, перпендикулярный линии касания цилиндра и Земли. Чаще всего это центральный меридиан картографируемой территории (рис. 48, б).

При косом размещении цилиндра касательная его с Землей будет проходить по большому кругу, плоскость которого перпендикулярна оси цилиндра. Это и будет линия нулевых искажений.

Во всех цилиндрических проекциях линия нулевых искажений — прямая, перпендикулярная центральному меридиану или совпадающая с ним.

Рис. 48. Положение касательного цилиндра относительно поверхности шара и вид картографической сетки в поперечной (а) и косой (б) цилиндрических проекциях

В школьной картографии используются косые цилиндри­ческие проекции, произвольные по характеру искажений. Картографическая сетка в них получается путем проецирования шара на плоскость из точки, лежащей на продолжении од­ной из экваториальных осей на некотором удалении от центра шара. Такие проекции называются косыми перспективно-цилиндрическими проекциями. Они сохраняют все свойства ци­линдрических проекций. На рис. 50 представлен один из вариантов картографической сетки в косой перспективно-цилиндрической проекции.

Конические проекции. Для получения общего понятия о конических проекциях можно представить себе, что географи­ческая сетка шара изображается сначала на боковой поверх­ности конуса, касательного или секущего, который затем раз­ворачивается в плоскость.

В школьной практике используются только нормальные конические проекции. Ось конуса, совпадающая с осью вра­щения Земли, перпендикулярна плоскости экватора. Мериди­анные плоскости пересекают поверхность конуса по его образующей, поэтому на плоскости меридианы — прямые линии, сходящиеся в вершине конуса. Параллели, получающиеся в результате пересечения поверхности шара и конуса плоскос­тями, перпендикулярными их оси, при разворачивании кону­са окажутся окружностями. На рис. 50 показана сетка ме­ридианов и параллелей в нормальной конической проекции.

, Рис. 50. Положение касательного конуса и вид картографической сетки в нормальной конической проекции

Рис. 49. Цилиндр,

секущий шар по двум

параллелям

Рис. 51. Конус, секущий шар по двум параллелям

Конус касается шара по параллели, которая и будет лини­ей нулевых искажений. Если конус секущий, получается две параллели сечения и соответственно две линии нулевых

иска­жений (рис. 51).

В о всех нормальных кониче­ских проекциях линия нулевых искажений — окружность с цент­ром в точке схода меридианов.

П

Рис. 52. Принцип построения и вид картографической сетки в поликонических проекциях

ри создании карт больших территорий, например, мира, при­меняют поликоническую проек­цию. Для уменьшения величин искажений в этой проекции ис­пользуется несколько конусов, касающихся поверхности шара по разным параллелям. Вершины всех конусов размещаются на оси вращения Земли, но в разных точ­ках. Вдоль каждой параллели ка­сания при разворачивании конуса образуются полосы. На краях кар­ты они будут расходиться. Мери­дианы в каждой такой полосе, как вообще в конической проекции, — отрезки прямых, которые необ­ходимо соединить, чтобы не нарушался принцип их непрерывности на карте. Географическая сетка получит вид, отличный от сетки нормальной конической проекции, — параллели останутся окружностями, но разноцентренными (эксцентрическими), меридианы после соединения на каждой полосе преобразуются в кривые линии (рис. 52). Иска­жения на всех параллелях касания отсутствуют.

Изоколы в поликонических проекциях в зависимости от ус­ловий проектирования имеют вид кривых линий разной фор­мы. Эти проекции произвольные по характеру искажений.

Азимутальные проекции. Часть земной поверхности мож­но спроектировать непосредственно на плоскость. Такие про­екции относятся к группе азимутальных. Рассмотрим группу азимутальных проекций, полученных при условии касания плоскости проектирования и поверхности шара.

В нормальных азимутальных проекциях (рис. 53, а) плос­кость перпендикулярна земной оси и касается Земли в точке полюса. Меридианные плоскости пересекают плоскость проек­тирования по прямым линиям, сходящимся в полюсе. Паралле­ли изображаются окружностями с центром в точке полюса.

Рис. 53. Положение касательной плоскости относительно поверхности шара в нормальной (а), поперечной (б) и косой (в) азимутальных проекциях

В поперечных азимутальных проекциях (рис. 53, б) кар­тографическая сетка получается при условии размещения плоскости проектирования перпендикулярно плоскости эква­тора, который изображается на карте прямой линией.

Центральный меридиан также будет прямым. Остальные меридианы и параллели — кривые. Точка нулевых искажений лежит на пересечении экватора с центральным меридианом.

В косых азимутальных проекциях (рис. 53, в) точка ка­сания плоскости и шара размещается между полюсом и эква­тором. Единственная прямая линия в картографической сетке этой проекции — центральный меридиан, остальные линии сетки, включая экватор, — кривые.

Во всех рассмотренных азимутальных проекциях точкой нулевых искажений является точка касания плоскости и поверхности шара. Обычно она размещается в центре картогра­фируемой территории. С удалением от этой точки все искаже­ния возрастают равномерно, поэтому в азимутальных про­екциях изоколы — окружности с центром в точке касания. В точке нулевых искажений азимуты всех направлений пере­даются также без искажений (отсюда — название проекции).

.Кроме основных групп картографических проекций, использует­ся большая группа условных проекций, в которых вид полу­чаемых картографических сеток разрабатывается без использо­вания какой бы то ни было вспомогательной поверхности. Услов­ные проекции получают аналитическим путем на основе решения систем уравнений под специальными условиями рас­пределения искажений. Чаще такие проекции применяются для больших территорий, например Евразии. По характеру искажений это произвольные проекции. Разработана также целая группа проекций, полученных при комбинировании и модифицировании основных, описанных вы­ше видов проекций. Это произвольные по характеру искажений псевдоцилиндрические, псевдоконические и псевдоазимуталь­ные проекции.