5.3 Проверка гипотезы о числовом значении дисперсии
Пусть x = (x1,x2,..,xn) – выборка объема n из нормального распределения. Требуется проверить нулевую гипотезу о том, что параметр нормального распределения s2 равен заранее заданному числу s02, т.е. H0 : s2>s02 .
В процедуре проверки гипотезы используется
критерий
,
– несмещенная точечная оценка дисперсии,
–
оценка математического ожидания.
Поскольку рассматривается выборка из
нормального распределения, то критерий
j имеет c2
- распределение с n - 1 степенями свободы.
Как и ранее, рассмотрим три случая альтернативных гипотез при проверке гипотезы H0 : s2>s02:
l) H1 : s2 ¹ s02;
2) H1 : s2 > s02;
3) H0 : s2 < s02.
В первом из этих случаев, H0 : s2 ¹ s02, критическая область двусторонняя (рис. 5) и ее границы определяются из условий P(j < xl,a) = 0.5a, P(j > xr,a) = 0.5a.
Зададимся некоторым уровнем значимости a и найдем значение xl,a как решение уравнения Fn-1(xl,a) = 1 - 0.5a., а xr,a – как решение уравнения Fn-1(xr,a) = 1 - 0.5a., где Fn-1(x) – функция c2-распределения с n-1 степенями свободы.
Когда критическая область найдена, можно вычислить по выборке значение критерия j и проверить, попадает ли оно в критическую область. Если j < xl,a или j > xr,a, то гипотеза H0 отвергается и принимается гипотеза H0. Если же xl,a<j < xr,a, то принимается гипотеза H0.
Во втором случае, когда альтернативная гипотеза H1:s2 > s02 критическая область значений критерия j, при которых гипотеза H0 отвергается, правосторонняя и представляет собой интервал (xr,a,+∞), где критическая точка удовлетворяет условию Р(j>xr,a) = a и находится как решение уравнения Fn-1(xr,a) = 1 - a при некотором заданном уровне значимости a.
Теперь вычислим по выборке значение критерия j и проверим, попадает ли оно в критическую область. Если j>xr,a , то гипотеза H0 отвергается и принимается гипотеза H0.
В третьем случае альтернативной гипотезы H1: s2 < s02 критичеcкая область левосторонняя и представляет собой интервал (0, xl,a), где критическая точка xl,a удовлетворяет условию Р(j<xr,a) = a и находится как решение уравнения Fn-1(xl,a) = a. Если выборочное значение критерия попадает в критическую область, т.е. j<xl,a, то гипотеза H0 отвергается и принимается гипотеза H1. Если же j > xl,a, то гипотеза H0 не отвергается.
ЗАДАНИЕ 7 в
Смоделируйте выборку 100 значений нормально распределенной случайной величины с указанными параметрами. Сформулируйте нулевую гипотезу о величине дисперсии и проверьте для заданных уровней значимости три альтернативные гипотезы.
Порядок выполнения задания
1. Смоделируйте описанную в условии выборку.
2. Найдите по выборке точечную оценку математического ожидания.
3. Найдите по выборке точечную оценку дисперсии.
4. Сформулируйте нулевую гипотезу о значении математического ожидания H0: s2 = s02.
5. Вычислите значение критерия.
36. Найдите границы критической области для альтернативной гипотезы H1: s2 ¹ s02.
7. Сравните значение критерия с границами критической области и сформулируйте соответствующее утверждение.
8. Найдите границы критической области для альтернативной гипотезы H1: s2 > s02.
9. Сравните значение критерия с границами критической области и сформулируйте соответствующее утверждение.
10. Найдите границы критической области для альтернативной гипотезы H1: s2 < s02.
11. Сравните значение критерия с границами критической области и сформулируйте соответствующее утверждение.