3. Точечные оценки параметров распределений

Предположим, что функция распределения случайной величины x зависит от неизвестного параметра q: P(x<X) = F_x(x,q). Если x₁,x₂,..,x_n – выборка из генеральной совокупности случайной величины x, то оценкой параметра q называется произвольная функция от выборочных значений = ( x₁,x₂,..,x_n). Конечно, используемые на практике оценки (x₁,x₂,..,x_n) не совсем произвольные функции: они обладают рядом свойств, которые обеспечивают в некотором смысле оптимальное извлечение информации из выборок. Рассмотрим эти свойства.

Точечные оценки математического ожидания

Следует отметить, что значение оценки меняется от выборки к выборке и, значит, есть случайная величина. Естественно потребовать, чтобы значения этой случайной величины в большинстве экспериментов были близки к значению оцениваемого параметра. Этого можно достигнуть, если для любого значения n математическое ожидание величины равно истинному (теоретическому) значению параметра : M = q.

Оценки , удовлетворяющие условию M =q, называются несмещенными. Несмещенность оценки означает, что эта оценка не несет в себе систематической ошибки.

Еще одно важное свойство, которым должны обладать оценки, — состоятельность. Оценка называется состоятельной оценкой параметра q, если для любого e>0 справедливо: lim P(|q_n^-q|<e) =1.

Поясним смысл последнего равенства. Пусть e>0 – как угодно малое положительное число. Тогда с ростом п растет наша уверенность в том, что значение оценки отличается от истинного значения параметра q не более чем на величину e, т.е. с ростом объема выборки увеличивается точность результата. Правда, здесь приходится отойти от традиционного понятия точности: нет гарантии, что | -q|<e, однако утверждается, что, начиная с некоторого п, событие | -q|<e становится практически достоверным.

Вообще говоря, для оценки одного и того же параметра можно придумать много различных несмещенных и состоятельных оценок. Рассмотрим несколько примеров.

Пусть x₁, x₂, .., x_n – выборка из генеральной совокупности, соответствующей случайной величине x с неизвестным математическим ожиданием Mx=q и известной дисперсией Dx=s². Построим несколько оценок неизвестного параметра Mx=q. Например, если ⁽¹⁾ =x₁, то M ⁽¹⁾ =x₁, т.е. рассматриваемая оценка является несмещенной оценкой. Поскольку значение ⁽¹⁾ =x₁ вообще не зависит от объема выборки n, то оценка ⁽¹⁾ не является состоятельной. Рассмотрим другую оценку:

Найдем

т.е. имеем несмещенную оценку. Проверим ее состоятельность.

Поскольку при n®∞, то, согласно закону больших чисел, для e> 0 справедливо , т.е. имеем состоятельную оценку.

Рассмотрим еще одну оценку неизвестного математического ожидания:

у которой

при n®∞, т.е. последняя оценка также несмещенная и состоятельная. Какой же оценке отдать предпочтение? Для того чтобы ответить на этот вопрос, сравним дисперсии последних двух оценок.

Поскольку , то , т.е. оценка ⁽³⁾дает меньший разброс около значений параметра q и, следовательно, предпочтительнее. В таком случае говорят, что оценка ⁽³⁾эффективнее оценки ⁽²⁾. Теперь естественно поставить вопрос о построении самой эффективной оценки – об оценке с минимальной дисперсией. Такая оценка называется эффективной оценкой. Доказано, что эффективной оценкой математического ожидания нормально распределенной случайной величины является оценка =(x₁+x₂+…+x_n)/n. Именно поэтому последняя оценка так широко используется в математической статистике. Итак, впредь для оценки неизвестного математического ожидания случайной величины будем использовать выборочное среднее, т. е:

Точечные оценки дисперсии

Для дисперсии s² случайной величины x можно предложить следующую оценку:

где – выборочное среднее,

Доказано, что эта оценка состоятельная, но смещенная.

В качестве состоятельной несмещенной оценки дисперсии используют величину

Именно несмещенностью оценки s² объясняется ее более частое использование в качестве оценки величины Dx.

Заметим, что Mathcad предлагает в качестве оценки дисперсии величину DX, а не s²: функция var(x) вычисляет величину:

, где mean(x) - выборочное среднее:

ЗАДАНИЕ 4

Найдите состоятельные несмещенные оценки математического ожидания Мx и дисперсии Dx случайной величины x по приведенным в задании выборочным значениям x₁, x₂, .., x_n.

Порядок выполнения задания

1. Прочитайте с диска файл, содержащий выборочные значения, или введите заданную выборку с клавиатуры.

2. Вычислите точечные оценки Мx и Dx.

Пример выполнения задания

Найдите состоятельные несмещенные оценки математического ожидания Мx и дисперсии Dx случайной величины x по выборочным значениям, заданным следующей таблицей.

X	904.3	910.2	916.6	928.8	935.0	941.2	947.4	953.6	959.8	966.0	972.2	978.4
N	1	3	1	1	1	1	2	1	1	1	2	1

Для выборки, заданной таблицей такого типа (приведено выборочное значение и число, указывающее, сколько раз это значение встречается в выборке), формулы для состоятельных несмещенных оценок математического ожидания и дисперсии имеют вид:

,

где k – количество значений в таблице; n_i – количество значений x_i в выборке, n – объем выборки.

Фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислениями точечных оценок приведен ниже. Из приведенных вычислений видно, что смещенная оценка дает