5.1 Проверка гипотезы о числовом значении математического ожидания при известной дисперсии

Пусть Мx = a – неизвестная величина, а дисперсия Dx = s² известна. Сформулируем нулевую гипотезу H₀ о том, что неизвестный параметр а равен заданному числу a₀ , т.е. H₀: a=a₀. Альтернативную гипотезу H₁ можно сформулировать тремя способами:

1) H₁: a ¹ a₀;

2) H₁: a > a₀;

3) H₁: a < a₀.

Рассмотрим подробно каждый из этих трех случаев.

Обратимся к первому случаю: нулевая гипотеза H₀: a = a₀ и альтернативная гипотеза H₁: a ¹ a₀ . Зададимся некоторым уровнем значимости a и вычислим по выборке значение критерия

Если гипотеза H₀ верна, то случайная величина j имеет стандартное нормальное распределение, и здравый смысл подсказывает, что в большинстве экспериментов величина j будет мало отличаться от нуля. Если же ее отклонения от нуля велики, то это, скорее всего, указывает на ошибочность гипотезы H₀. Придадим приведенным соображениям более четкую форму.

Выделим для критерия j – критическую область, т.е. укажем такие значения j, при которых гипотезу H₀ следует отвергнуть. На рис. 2 изображена плотность распределения критерия j (плотность стандартного нормального распределения).

Определим границы критической области x_l,a и x_r,a так, чтобы

Критические точки x_l,a и x_r,a расположены симметрично относительно нуля, правая является корнем уравнения Ф(x_r,a)= 1 ^— 0.5a, а левая вычисляется по формуле x_l,a = - x_r,a.

Когда критическая область найдена, можно вычислить по выборке значение критерия j и проверить, попадает ли оно в критическую область.

Если j< x_l,a или j> x_r,a, то гипотеза H₀ отвергается и принимается гипотеза H₁. Если же x_l,a<j<x_r,a то принимается гипотеза H₀.

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий проверку гипотезы о величине математического ожидания нормально распределенной случайной величины H₀: а = 1 при альтернативной гипотезе H₁: а ¹ 1.

Рассмотрим второй случай с нулевой гипотезой H₀: а = a₀ и альтернативной гипотезой H₁: а > a₀. Снова зададимся некоторым уровнем значимости a и вычислим по выборке значение критерия , где

Указание. Сначала с помощью функции rnorm (N,m,s) сгенерирована выборка объема N = 100 из значений случайной величины, имеющей нормальное распределение N(1,2). Для уровня значимости a=0.1 вычислены границы критической области, Xright = 1.645, Xleft = -1.645, и оценка математического ожидания Хmean = 1.12. Высказана нулевая гипотеза о том, что значение параметра Мx =a равно а₀ = 1, т.е. Н₀: a₀ = 1. Затем вычислено значение критерия j = -1.505 и, поскольку -1.505 Î (-1.645,1.645), нулевая гипотеза принимается на уровне значимости a =0.1.

В рассматриваемом случае критическая область значении критерия j, при которых гипотеза H₀ отвергается, правосторонняя (рис. 3).

Критическая точка удовлетворяет условию и находится как решение уравнения .

Когда критическая область найдена, можно вычислить по выборке значение критерия j и проверить, попадает ли оно в критическую область. Если , то гипотеза H₀ отвергается и принимается гипотеза H₁. Если же , то гипотеза H₀ не отвергается.

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий проверку гипотезы H₀: a = a₁ о величине математического ожидания а нормально распределенной случайной величины при альтернативной гипотезе H₁: a > a₁.

В третьем случае с нулевой гипотезой H₀: a = a₁ и альтернативной гипотезой H₁: a < a₁ опять зададимся некоторым уровнем значимости a и вычислим по выборке значение критерия

где

В рассматриваемом случае критическая область значении критерия j при которых гипотеза H₀ отвергается, левосторонняя (рис. 4).

Критическая точка удовлетворяет условию и находится по формуле , где x_r,a – решение уравнения . Когда критическая область найдена, можно вычислить по выборке значение критерия j и проверить, попадает ли оно в критическую область. Если , то гипотеза H₀ отвергается и принимается гипотеза H₁. Если же ,то гипотеза H₀ не отвергается.

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий проверку гипотезы о величине математического ожидания а нормально распределенной случайной величины H₀: a = 6 при альтернативной гипотезе H₁: a < 6.

ЗАДАНИЕ 7 а

Смоделируйте выборку 100 значений нормально распределенной случайной величины с указанными параметрами. Сформулируйте нулевую гипотезу о величине математического ожидания и проверьте для заданных уровней значимости три альтернативные гипотезы.