Порядок выполнения задания

1. Прочтите сохраненный ранее файл, содержащий выборку.

2. Вычислите максимальный и минимальный элементы и размах выборки.

3. Рассчитайте выборочное среднее.

4. Найдите медиану.

5. Вычислите выборочную дисперсию и стандартное отклонение.

6. Найдите выборочные моменты 3-го и 4-го порядков.

7. Вычислите выборочный эксцесс.

8. Определите коэффициент асимметрии.

Пример выполнения задания

Ниже представлен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий вычисление характеристик выборочных данных, приведённых в начале раздела.

Указание. В Mathcad нет встроенных функций для вычисления выборочных моментов. Для определения среднеквадратичного отклонения в Mathcad предназначена функция

Рассчитываемое с ее помощью значение среднеквадратичного отклонения отлично от определенного выше, поэтому среднеквадратичное отклонение следует вычислять как

2.3 Оценка функции распределения

Рассмотрим методы оценивания функции распределения F_x(x) случайной величины, о которой известно, что она непрерывна.

Пусть x={x₁,x₂,..,x_n} – совокупность выборочных значений случайной величины x, т.е. выборка из случайной величины x. Расположим наблюдения x₁,x₂,..,x_n в порядке их возрастания. Обозначим новую упорядоченную последовательность – вариационный ряд - x`<sub>1</sub>,x`₂,..,x`<sub>n</sub>, x`₁<x`<sub>2</sub><..<x`_n. По этому вариационному ряду построим следующую неубывающую ступенчатую функцию:

Из приведенной выше формулы видно, что функция претерпевает в каждой точке вариационного ряда скачок, равный по величине 1/n. Если какая-нибудь точка вариационного ряда повторяется т раз (т точек вариационного ряда совпадают), то скачок функции в этой точке равен т/п.

Функция F_n(x) называется эмпирической функцией распределения.

Замечание. Эмпирическая функция распределения зависит не только от x, но и от всей выборки x. Чтобы обратить внимание на этот факт, будем обозначать эмпирическую функцию распределения через . Именно принимают за оценку теоретической функции распределения F(x).

Остается выяснить, насколько хорошо эмпирическая функция распределения аппроксимирует теоретическую функцию распределения.

Если F_x(x) – теоретическая функция распределения, a F_n(x) — эмпирическая функция распределения, построенная по заданной выборке значений случайной величины x, то в качестве меры расхождения теоретической и эмпирической функций распределения возьмем величину:

Эта функция от выборочных значений х называется статистикой Колмогорова. Следует помнить, что случайная величина и что ее распределение не зависит от неизвестной теоретической функции распределения F_x(x), если она непрерывна. Более того, справедлива теорема Колмогорова: если функция распределения F_x(x) случайной величины x непрерывна, a F_n(x) – ее выборочная функция распределения, то при n®∞

Функция K(z) представляет собой функциональный ряд, который следует протабулировать. Сразу обратим внимание на то, что этот ряд сходится абсолютно для всех z>0, но неравномерно на промежутке [0, +∞]. Это означает, что для достижения заданной точности при вычислении K(z) число N членов в соответствующей частичной сумме зависит от z. Если e – требуемая точность вычисления К(z), то число N вычисляется по формуле , где символом [ ] обозначена целая часть числа.

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий приближенное определение функции K(z) для e = 0.001, N = 3, и соответствующие графики.

Из приведенных в документе графиков видно, что для малых z величину K(z) можно положить равной нулю, а для z > 2 можно считать K(z) равной единице.

Зададимся вероятностью a такой, что событие, происходящее с вероятностью 1-a, представляется практически достоверным. Вычислим корень z_a уравнения 1 – K(z) =a, тогда неравенство:

выполняется для всех действительных х с вероятностью, близкой к 1-a.

Таким образом, в окрестности эмпирической функции распределения построен "коридор", в котором лежит истинная, теоретическая функция распределения F_x(x). С ростом п "ширина" этого коридора стремится к нулю.

Вместо эмпирической функции распределения будем использовать функцию накопленных относительных частот, поскольку = F_k, для xÎ(x_k-1,x_k] и значения функций совпадают вне промежутка [x_min, x_max].

На следующей странице приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с построением 95%-ного "коридора" для функции распределения случайной величины по приведенной выборке.

Указание. Как уже отмечалось выше, в качестве эмпирической функции распределения использована эмпирическая функция накопленных частот. Заметим, что Mathcad вместо графика ступенчатой функции строит ломаную линию, соединяя "ступеньки" вертикальными отрезками прямых. Корень уравнения 1 – К(z) =a проще всего найти графически, используя операцию Trace пункта Graph меню Format), как точку пересечения графика K(z) и прямой у = 1-a. Ниже приведен фрагмент окна Mathcad с окном отображения координат точки пересечения.

Для оценки плотности распределения случайной величины можно воспользоваться полигоном частот, который представлен выше. При не очень строгих ограничениях доказано, что выборочная плотность вероятностей, т.е. полигон частот, с ростом объема выборки до бесконечности стремится к истинной, теоретической плотности распределения исследуемой случайной величины.

ЗАДАНИЕ 3

Постройте для выборки, сформированной в задании 1, 95%-ный "коридор" для функции распределения исследуемой случайной величины.

Порядок выполнения задания

1. Прочитайте файл, сохраненный при выполнении задания 1.

2. Определите статистику Колмогорова — функцию K(z) и постройте ее график.

3. Определите значение величины a.

4. Решите графически уравнение 1 - K(z) = a.

5. Постройте "коридор" для теоретической функции распределения.

Пример выполнения задания

Пример построения 95%-ного "коридора" функции распределения для исследуемой во всех примерах этого раздела выборки 250 значений случайной величины приведен выше.