Порядок выполнения задания

1. Смоделируйте описанную в условии выборку.

2. Найдите по выборке точечную оценку математического ожидания.

3. Сформулируйте нулевую гипотезу о значении математического ожидания H₀: a = a₀.

4. Вычислите значение критерия.

5. Найдите границы критической области для альтернативной гипотезы H₁: a ¹ a₀.

6. Сравните значение критерия с границами критической области и сформулируйте соответствующее утверждение.

7. Найдите границы критической области для альтернативной гипотезы H₁: a > a₀.

8. Сравните значение критерия с границами критической области и сформулируйте соответствующее утверждение.

9. Найдите границы критической области для альтернативной гипотезы H₁: a < a₀.

10. Сравните значение критерия с границами критической области и сформулируйте соответствующее утверждение.

Пример выполнения задания

В каждом из приведенных выше трех фрагментов рабочих документов Mathcad проведены проверки для одной из альтернативных гипотез.

5.2 Проверка гипотезы о числовом значении математического ожидания при неизвестной дисперсии

Методика проверки гипотез в этом случае практически не отличается от описанной выше. Однако теперь критерий j имеет распределение Стьюдента, а не стандартное нормальное, как в предыдущем случае.

Если — выборка из нормального распределения и величины и ,то при проверке нулевой гипотезы H₀: a = a₀ используется критерий , который при выполнении гипотезы H₀ имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы n - 1.

Как и в описанной выше методике, рассмотрим три случая альтернативных гипотез при проверке гипотезы H₀: a = a₀:

1) H₁: a ¹ a₀;

2) H₁: a > a₀;

3) H₁: a < a₀.

В первом из этих случаев, H₁: a ¹ a₀, критическая область двусторонняя, и ее границы определяются из условий . Причем в силу симметричности распределения Стьюдента достаточно вычислить только x_r,a, поскольку x_l,a = - x_r,a.

Зададимся некоторым уровнем значимости a и вычислим значение x_r,a как решение уравнения , где – функция распределения Стьюдента с n - 1 степенями свободы. Когда критическая область найдена, можно вычислить по выборке значение критерия j и проверить, попадает ли оно в критическую область. Если j< x_l,a или j> x_r,a, то гипотеза H₀ отвергается и принимается гипотеза H₁. Если же x_l,a < j < x_r,a, то принимается гипотеза H₀.

Во втором случае, когда альтернативной является гипотеза H₁: a > a₀, критическая область значений критерия j, при которых гипотеза H₀ отвергается, правосторонняя. Она представляет собой интервал (x_r,a,+µ), где критическая точка удовлетворяет условию и находится как решение уравнения при некоторым заданном уровне значимости a.

Теперь вычислим по выборке значение критерия ,

, и проверим, попадает ли оно

где , и проверим, попадает ли оно в критическую область. Если , то гипотеза H₀ отвергается и принимается гипотеза H₁.

В третьем случае альтернативной гипотезы H₁: a < а₀ критическая область левосторонняя и представляет собой интервал (-µ, x_l,a). Критическая точка x_l,a удовлетворяет условию P(j < x_l,a) = a и находится по формуле x_l,a = - x_r,a, где x_r,a – решение уравнения .

Если выборочное значение критерия попадает в критическую область, т.е. j < <x_l,a, то гипотеза H₀ отвергается и принимается гипотеза H₁. Если же j > x_l,a, то гипотеза H₀ не отвергается.

ЗАДАНИЕ 7 б

Смоделируйте выборку 100 значений нормально распределенной случайной величины с указанными параметрами. Сформулируйте нулевую гипотезу о величине математического ожидания и проверьте для заданных уровней значимости три альтернативные гипотезы.

Порядок выполнения задания

1. Смоделируйте описанную в условии выборку.

2. Найдите по выборке точечную оценку математического ожидания.

3. Найдите по выборке точечную оценку дисперсии.

4. Сформулируйте нулевую гипотезу о значении математического ожидания H₀ : a=a₀.

5. Вычислите значение критерия.

6. Найдите границы критической области для альтернативной гипотезы H₁: a ¹ a₀.

7. Сравните значение критерия с границами критической области и сформулируйте соответствующее утверждение.

8. Найдите границы критической области для альтернативной гипотезы H₁ : a > a₀.

9. Сравните значение критерия с границами критической области и сформулируйте соответствующее утверждение.

10. Найдите границы критической области для альтернативной гипотезы H₁ : a > a₀.

11. Сравните значение критерия с границами критической области и сформулируйте соответствующее утверждение.