4. Методы получения точечных оценок

Известны методы получения точечных оценок: метод моментов, метод максимального правдоподобия и метод наименьших квадратов.

Оценки, полученные методом максимального правдоподобия, обладают хорошими асимптотическими свойствами: при n®∞ они становятся эффективными, несмещенными, состоятельными. Познакомимся с этим методом на примерах.

4.1 Метод максимального правдоподобия для дискретной случайной величины

Пусть x – дискретная случайная величина, распределенная по закону Пуассона с неизвестным параметром l, т.е. и m₁, m₂,.., m_n – результаты независимых наблюдений случайной величины x. Задача состоит в построении точечной оценки неизвестного параметра l. Для ее решения введем в рассмотрение функцию правдоподобия, заданную равенством

где x₁, x₂,.., x_n - независимые случайные величины, распределенные так же, как и случайная величина x.

Поскольку случайные величины x независимы и , то

Как видно из последнего равенства, функция правдоподобия зависит только от результатов наблюдений m_1,m₂,.., m_n и от неизвестного параметра l. За оценку неизвестного параметра l примем такое число , которое доставляет максимум функции правдоподобия.

При решении задач отыскания максимума функции правдоподобия чаще всего находят максимум функции lnL:

которая достигает максимума в той же точке, что и функция правдоподобия L(m₁,m₂,.. m_n).

Из необходимого условия экстремума

имеем искомую оценку неизвестного параметра l.

Вспомним, что математическое ожидание случайной величины x, имеющей распределение Пуассона с параметром l, равно Мx = l и что эффективной, несмещенной, состоятельной оценкой математического ожидания x по выборке m₁,m₂,.. m_n является величина .

В Mathcad для моделирования выборки значений случайной величины, распределенной по закону Пуассона, предназначена функция rpois(k,l)), которая формирует вектор из k случайных чисел, распределенных по Пуассону с параметром l.

ЗАДАНИЕ 5

Смоделируйте несколько выборок объема п значений случайной величины x, имеющей распределение Пуассона с параметром l=0.1N, N – номер варианта. Для одной выборки постройте график функции правдоподобия. Найдите оценку максимального правдоподобия параметра l как функцию объема выборки. Выполните вычисления для n = 10N, 20N,..., 50N при N < =15 и для n = N, 2N,..., 10N при N > 15. Изобразите на графике зависимость оценки от объема выборки. Сравните полученные оценки с заданным значением параметра.

Порядок выполнения задания

1. Смоделируйте выборку значений случайной величины, имеющей распределение Пуассона с заданным значением параметра l.

2. Определите логарифм функции максимального правдоподобия и изобразите его график.

3. Смоделируйте несколько выборок разного объема значений случайной величины, имеющей распределение Пуассона с заданным значением параметра l.

4. Вычислите оценку максимального правдоподобия параметра l как функцию объема выборки.

5. Изобразите на графике зависимость оценки максимального правдоподобия от объема выборки.

Пример выполнения задания

В приведенном ниже фрагменте рабочего документа выполнены требуемые вычисления для распределения Пуассона с параметром l = 3.