1.3 Основні закони розподілу часу безвідмовної роботи.
Внаслідок того, що час безвідмовної роботи є величина випадкова, для її опису в теорії надійності використовують ряд законів. Найбільшого поширення з них набули:
розподіл Вейбулла;
експоненціальний розподіл;
розподіл Релея.
Розподіл Вейбулла має наступний вираз для вірогідності безвідмовної роботи:
(1.19)
де а0 - параметр масштаба;
b – параметр форми.
Звідси:
.
(1.20)
Середній час безвідмовної роботи при цьому рівняється:
,
(1.21)
де Г(1+1/b) – табульована повна гама-функція.
Інтенсивність відмов при розподілі Вейбулла рівняється:
.
(1.22)
На рис. 1.5 показані основні залежності цього розподілу:
- для b<1;
- для b>1.
Рис. 1.5 Основні залежності розподілу Вейбулла
Видно, що при b<1 інтенсивність відмов монотонно убуває, а при b>1 – монотонно зростає. Зазвичай значення b вибирається в межах від 1 до 2.
Закону Вейбулла досить добре підкоряється розподіл відмов в об'єктах, що містять велику кількість однотипних елементів, які не підлягають ремонту.
Експоненціальний розподіл можна розглядати як окремий випадок розподілу Вейбулла при b=1. Тоді
;
;
;
.
(1.23)
Звідси
;
або
.
При
отримуємо:
.
Залежності експоненціального розподілу представлені на рис.1.6.
Рис. 1.6 Залежності експоненціального розподілу
При експоненціальному розподілі математичне очікування випадкової величини рівне средньоквадратичному відхиленню:
.
Експоненціальний розподіл типовий для більшості складних об'єктів, які містять велику кількість різних елементів, що не підлягають ремонту, коли відмови цих елементів переважно раптові.
Розподіл Релея також є окремим випадком розподілу Вейбулла при b=2. При цьому:
;
;
.
(1.24)
Введем новий параметр розподілу:
,
тобто
.
Тоді:
;
;
.
На рис.1.7 показані основні залежності при розподілі Релея.
Рис.1.7 Основні залежності при розподілі Релея
Розподіл Релея досить добре описує поведінку ряду об'єктів і елементів з явно вираженим ефектом старіння і зносу.
1.4 Основні моделі надійності апаратури.
Моделлю надійності апаратури є графічне зображення основних елементів апаратури за їх функціональною ознакою. При цьому основні елементи і їх зв'язки виділяються так, щоб відмови будь-якого з них були незалежні і не зумовлювали відмов решти елементів. Простими універсальними моделями надійності апаратури є послідовні і паралельні схеми з'єднань з незалежних елементів.
Послідовна модель надійності - це система, що складається з двох і більш функціональних елементів, сполучених послідовно (рис.1.8). Тут Рі(t) – вірогідність безвідмовної работы і-го элемента.
Рис. 1.8 Послідовна модель надійності
Умовою працездатності такої моделі є: система залишається працездатною, якщо всі елементи моделі працездатні. При виході з ладу хоч би одного елементу система переходить в несправний стан.
На підставі теореми множення вірогідностей незалежних подій формулюється правило: вірогідність безвідмовної роботи послідовної моделі надійності рівна твору вірогідності безвідмовної роботи окремих її елементів.
,
(1.25)
де Рс (t) – вірогідність безвідмовної роботи системи (моделі в цілому);
n – число послідовно включених елементів системи.
Вірогідність появи відмови в такій системі очевидно рівна:
.
(1.26)
Якщо
модель складається з однакових елементів
з точки зору надійності, тобто
,
то:
(1.27)
Інтенсивність відмов послідовної моделі надійності очевидно рівна:
,
(1.28)
де λі (t) - інтенсивність відмов і – го елемента системи.
Якщо елементи системи мають однакову надійність, тобто
,
то
.
(1.29)
Паралельна модель надійності відображає систему, що складається з двох і більше функціональних елементів, сполучених паралельно (рис. 1.9).
Умова працездатності моделі полягає в тому, що система залишається працездатною, якщо хоча б один з елементів знаходиться в справному стані. На підставі цієї властивості з використанням теореми множення вірогідностей незалежних подій формулюється правило: вірогідність відмови паралельної
Рис.1.9 Паралельна модель надійності
моделі надійності рівна твору вірогідності відмови окремих її елементів. Тому:
.
(1.30)
Тут Qc (t) – вірогідність відмови системи (моделі в цілому);
Qi (t) – вірогідність відмови і – го елемента системи;
Pi (t) = 1 – Qi (t) – вірогідність безвідмовної роботи і – го елемента системи.
Вірогідність безвідмовної роботи системи очевидно буде рівна:
.
(1.31)
Якщо в системі всі елементи, що сполучені паралельно, мають одинакову надійність, тобто , то
(1.32)