Вопрос 2. Алгоритмы сортировки

Сортировка вставками. Суть: создается новый массив, в который мы последовательно вставляем элементы из исходного массива так, чтобы новый массив был упорядоченным. Вставка происходит следующим образом: в конце нового массива выделяется свободная ячейка, далее анализируется элемент, стоящий перед пустой ячейкой (если, конечно, пустая ячейка не стоит на первом месте), и если этот элемент больше вставляемого, то подвигаем элемент в свободную ячейку (при этом на том месте, где он стоял, образуется пустая ячейка) и сравниваем следующий элемент. Так мы прейдем к ситуации, когда элемент перед пустой ячейкой меньше вставляемого, или пустая ячейка стоит в начале массива. Помещаем вставляемый элемент в пустую ячейку. Таким образом, по очереди вставляем все элементы исходного массива. Очевидно, что если до вставки элемента массив был упорядочен, то после вставки перед вставленным элементом расположены все элементы, меньшие его, а после - большие. Так как порядок элементов в новом массиве не меняется, то сформированный массив будет упорядоченным после каждой вставки. А значит, после последней вставки мы получим упорядоченный исходный массив.

Алгоритм 2. Пузырьковая сортировка.

Реализация данного метода не требует дополнительной памяти. Метод очень прост и состоит в следующем: берется пара рядом стоящих элементов, и если элемент с меньшим индексом оказывается больше элемента с большим индексом, то мы меняем их местами. Эти действия продолжаем, пока есть такие пары. Легко понять, что когда таких пар не останется, то данные будут отсортированными. Для упрощения поиска таких пар данные просматриваются по порядку от начала до конца. Из этого следует, что за такой просмотр находится максимум, который помещается в конец массива, а потому следующий раз достаточно просматривать уже меньшее количество элементов. Максимальный элемент как бы всплывает вверх, отсюда и название алгоритма. Так как каждый раз на свое место становится по крайней мере один элемент, то не потребуется более N проходов, где N - количество элементов. Вот как это можно реализовать:

Алгоритм 4. Сортировка слиянием.

Эта сортировка использует следующую подзадачу: есть два отсортированных массива, нужно сделать (слить) из них один отсортированный. Алгоритм сортировки работает по такому принципу: разбить массив на две части, отсортировать каждую из них, а потом слить обе части в одну отсортированную. Корректность данного метода практически очевидна, поэтому перейдем к реализации.

Чтобы оценить время работы этого алгоритма, составим рекуррентное соотношение. Пускай T(n) - время сортировки массива длины n, тогда для сортировки слиянием справедливо T(n)=2T(n/2)+O(n) (O(n) - это время, необходимое на то, чтобы слить два массива).

Осталось оценить k. Мы знаем, что 2k=n, а значит k=log2n. Уравнение примет вид T(n)=nT(1)+ log2nO(n). Так как T(1) - константа, то T(n)=O(n)+log2nO(n)=O(nlog2n). То есть, оценка времени работы сортировки слиянием меньше, чем у первых трех алгоритмов (я прошу прощения у тех, кто не понял мои рассуждения или не согласен с ними, - просто поверьте мне на слово). Перед тем как объяснить, чем этот метод лучше, рассмотрим еще один алгоритм.