3.9. Определение начальных условий алгоритма Язвинского при оценке результатов измерения

Алгоритм Язвинского предназначен для определения оценки нестационарных результатов измерения путем адаптивной фильтрации по последовательности скалярных измерений y_k [18, 94]. При этом в качестве модели измерений выбирается модель Гаусса – Маркова [75]

y_k = H_k x_k + v_k,

априорные данные для которой задаются ошибками, сопровождающими измерение, а также начальными условиями x_н. Причем ошибки описываются нормальным законом распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией D_k, т. е. v_k  N(0, D_k). Эти элементы математической постановки задачи оценивания задаются как

Q = .

При этом в качестве критерия оптимизации выбирается критерий максимального правдоподобия для совместной плотности распределения вероятностей x_k и Y₁^k

),

который совпадает с минимумом среднего риска оценивания алгоритма фильтрации.

Значения данного алгоритма определяются соотношениями

x(k k) = M[x_k Y₁^k, ] = x(k k – 1) + K_k v_k;

v_k = y_k – H_k x(k k – 1).

Данный алгоритм является квазиоптимальным, т.е. вид решения уравнения будет меняться в зависимости от дополнительных ограничений, накладываемых по условию каждой конкретной задачи.

Оценка диагональной матрицы Q требует значительного объема вычислений, связанных с обращением матрицы A.

Алгоритм не предусматривает оценивание матрицы измерительных шумов R.

Для повышения качества полученных оценок используют адаптивный алгоритм с обратной связью по обновленной последовательности, который имеет вид

x(k+1k+1) = x(k+1k) + K_k+1 v(k+1k);

v(k+1k) = y_k+1 – H x(k +1k);

K_k+1 = s⁺ M_v(v(k+1k) v^T(k+1k)^-1;

s⁺ = (s^Ts)^-1s^T;

М_v = ; s = .

Как первичный алгоритм Язвинского, так и его модификация требует задания начального условия x_н. Выбор данного параметра алгоритма оценивания является важным этапом определения оцениваемого параметра. Вследствие ограниченности априорных данных на начальных этапах оценивания, а также отсутствия апостериорных данных выбора качественной начальной оценки x_н, критерием ее выбора не может быть точность ее задания. Однако эта оценка должна обеспечивать максимальную сходимость алгоритма уже на начальных этапах его функционирования.

Таким образом, задача выбора начального условия x_н сводится к тому, чтобы при одинаковой дисперсии исходной оценки необходимо выбрать ту начальную оценку, которая при одинаковом объеме статистики обеспечивает максимальную сходимость алгоритма.

Для конкретизации выбора начального значения x₀ учтем, что аналогично экстремальному свойству нормального закона распределения случайной величины при заданной дисперсии для энтропии Шеннона [96] можно сформулировать экстремальное свойство и для энтропии Кульбака – Лейблера, в соответствии с которым величина нормированного риска R₁(x, ) достигает свое максимальное значение для нормального закона распределения. Для доказательства этого положения учтем, что плотность вероятности нормально распределенной случайной величины в выражении ее энтропии Шеннона вне знака логарифма может быть замена произвольной плотностью вероятности, поскольку законы распределения сравниваются при нулевом математическом ожидании и при одинаковых дисперсиях:

D = = .

Следовательно, для нормального закона распределения экстремальная энтропия Шеннона равна

H_N[X] = = .

Вычтя из данного выражения величину энтропии для произвольного закона распределения, отличающегося от нормального,

H[X]= ,

получаем максимальное значение для энтропии Кульбака – Лейблера:

H_N[X] – H[X] = .

Как показано в работе [3], величина нормированного риска совпадает с выражением для энтропии Кульбака – Лейблера при условии, что величина f_N(x) равна интенсивности риска:

,

где f(x) – плотность распределения начальной оценки оцениваемой случайной величины; S(x₀) = 1 – F(x₀), F(x₀) = .

В связи с этим интенсивность риска должна иметь вид нормального закона распределения, т.е.

f_N(x) = ,

что возможно при условии, когда плотность распределения случайной величины должна носить нормальный закон распределения.

Учтя экстремальное свойство нормального закона распределения нормированного риска, из формулы (1) следует, что в качестве начальной оценки алгоритма Язвинского, при определении оценки по результатам измерения, следует выбирать оценку с нормальным законом распределения

x_н  N( (00), D(00)),

которая обладает предельной асимптотической эффективностью, т.е. обеспечивает уже на первых шагах функционирования алгоритма оценивания предельную скорость его сходимости.