4.11. Взаимосвязь размерности вектора признаков и вероятности правильности формирования модели измерения

Для установления взаимосвязи между размерностью вектора признаков и вероятности правильности формирования модели надо иметь в виду, что увеличение числа признаков модели должно приводить к повышению ее эффективности, так как рано или поздно в составе вектора может появиться такой признак, разброс которого минимален.

Для доказательства данного положения допустим, что:

– для каждого k-го признака измерения существует некоторая вероятность такого события A_k, когда решение о принадлежности объектов к W_i классу принимается;

– признаки измерения независимы между собой.

Независимость признаков означает и независимость событий A_k (событий принятия однозначных решений о принадлежности). Вероятность наступления двух совместных или несовместных событий A₁ и A₂:

P (A₁ + A₂) = P(A₁) + P(A₂) – P(A₁ A₂).

Для трех событий имеем

P(A₁+A₂+A₃) = P[A₁+(A₂+A₃)] = P(A₁) + P(A₂ + A₃) – P[A₁ (A₂ + A₃)] =

= P (A₁) + P(A₂) + P(A₃) – P(A₂A₃) – P(A₁A₂ + A₁A₃) =

= P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) – P(A₂A₃) – [P(A₁A₂) + P(A₁A₃) – P(A₁A₂A₃)]

или

.

Точно так же для четырех событий:

.

Теперь образуем разность между вероятностями суммы 4-х и 3-х событий, состоящих в рассматриваемом случае в принятии однозначного решения о принадлежности по 4 и 3 признакам измерения соответственно:

.

Наиболее просто эту разность получить, не доводя уменьшаемое до конечного вида

.

Согласно принципа индукции можно записать:

.

Поскольку

,

то при любом значении  имеем

.

Из данного выражения следует, что при увеличении числа признаков модели измерения увеличивается вероятность правильного ее формирования, т.е. ряд

при монотонно возрастает и сходится. Для сходящейся последовательности

,

а значит

.

Из полученного выражения следует

Теорема: Увеличение вероятности правильного формирования модели измерения может быть достигнуто за счет увеличения размерности вектора для независимых признаков, а при зависимых признаках (коррелированных) для этого можно дополнительно использовать связь между признаками, приводящими к лучшей разделимости классов.

Полученный результат можно достигнуть способами преобразования признаков модели измерения, которые сформулированы выше.

4.12. Формализация задачи оптимального взаимосвязанного выбора алфавита классов и словаря признаков

Решение задачи повышения эффективности модели измерения путем увеличения размерности вектора признаков осуществляется за счет возрастания числа технических средств измерений, каждое из которых обеспечивает определение одного или группы признаков, что приводит к дополнительным расходам на формирование модели измерения. Поэтому в условиях ограниченных ресурсов на формирование модели измерения только некоторый компромисс между размерами алфавита классов и объемом рабочего словаря признаков обеспечивает решение задачи оптимальным образом. Для обеспечения этого компромисса требуется предварительная формализация задачи, которую начнем с формализации исходных данных. Пусть задано множество объектов или явлений:

W ={w₁, w₂ ,...., w_l}.

Введем множество из r возможных вариантов разбиения этих объектов W на классы (варианты алфавита классов):

A ={A₁, A₂, ..., A_r}.

Таким образом, с учетом возможного отказа от решений в каждом варианте множество объектов W подразделяется на свое число классов:

в варианте A₁ – на (m₁ +1) классов;

в варианте A₂ – на (m₂ +1) классов;

........................................

в варианте A_r – на (m_r +1) классов.

В соответствии с вариантом алфавита классов (A_s) исходные объекты (явления) разбиваются на m_s “решающих” классов

W = {W(1A_s), W(2A_s), W(3A_s), ......., W(m_sA_s)},

где естественно "1", "2",..... – номера классов; A_s – вариант алфавита классов, s = 1, 2,...., r.

Таким образом, имеется подмножество классифицированных объектов.

Если при этом располагаем априорным словарем признаков

X = {x₁, x₂, ..., x_n},

а размеры указанных подмножеств классифицированных объектов таковы, что соответствующие выборки признаков представительны (в каждом классе достаточное в статистическом смысле число объектов), то тогда тем или иным способом может быть проведено описание каждого из классов на языке этого словаря. В детерминированном случае это достаточно просто. Каждый класс имеет свои эталоны со своими характеристиками как наборами параметров, представляющие собой выбираемые признаки:

X_ik [W(jA_s)],

где i = – число признаков измерения; j = – число классов; k = – число эталонов в j-м классе.

При статистическом подходе описание – это априорные вероятности классов P[W(iA_s )] или функции условных плотностей распределения вероятностей f{ W(iA_s)]}. Если же объем выборок объектов по подмножествам недостаточен для непосредственного описания классов, то эти описания могут быть получены с помощью процедуры обучения. Наличие описаний классов уже позволяет определять решающие правила (решающие границы), использование которых обеспечивает минимизацию ошибок при выборе неизвестных объектов.

Если бы не было ограничений на величину ресурсов используемых при создании измерительных средств определения признаков, то можно было бы считать, что как алфавит классов, так и словарь признаков определены и можно приступать к построению устройства формирования. Однако реально при создании сложных систем нельзя обойтись без указанных ограничений. При этом данные ограничения не обязательно финансовые. Достаточно часто в качестве таковых могут выступать ограничения на быстродействие, память и т.п.